Self-tiling tile setsについて
正五角形ぐるぐると正七角形ぐるぐる

さてどうやって遊ぼうかしらと、よく思案もしないままパズル懇話会で紹介したところ、いわいまさかさんから、ぐるぐる巻いてはどうかと提案があった。それは面白そうだ。という訳で、やってみた。

こんな感じで、同じ向きにぐるぐる巻きにしていく。正五角形同士は辺で繋ぎ、既に置いた正五角形の板に重ならないように、なるべく密に充填していく。これを続けていくとどんな形ができるだろう。
少し世代を進めると、こんな感じになる。何かパターンが見えるだろうか。

隙間のひし形に注目する。向きに注意して、色を付けてみるとこんな感じ。

どうも、横一列に並ぶ紫色のひし形を除けば、ひし形の向きは同じみたいだ。なんだか、対称性もある気がする。一周巻くごとに薄く色を付けてみよう。

するとこんな感じになる。色付けした個所の形、ぼんやり眺めると六角形に見える(平行六辺形というのだろうか。もちろんよく見ると辺に相当する部分がギザギザしているので六角形ではないのだが)。巻く回数を増やすと、この六角形っぽい領域が、だんだん太くなっていくようだ。始めの方は不規則に見えたけれど、けっこう規則的である。
さて、そもそものきっかけ。頂いた正五角形の板から離れるが、これが正七角形だとどうなるだろう。

最初のうちはこんな感じである。正五角形のときより不穏な感じがする。これを続けると、はたして。

こうなる。が、いまいち規則性が見えない。この先どうなっていくのだろう。分かった人は教えてほしい。
折り紙とペンローズタイル


レプタイル その2

これは「ペンローズタイルの作り方」でもご紹介した、置換規則(substitution rule)による、模様の構成法である。いまは操作を繰り返すたび、ひとつひとつのタイルがどんどん小さくなって行くけれど、操作の都度拡大してやれば、どんどん平面を埋めていくことになる(基準の点をどこに選ぶかが平面充填のときにはちょっと問題になるけれど)。
ところで、ここまでご紹介してきたレプタイルは、どれも、縮小コピーのサイズが等しかった(互いに合同だった)。つまり、n-レプタイルが元のタイルをn等分していた。定義上は、自分の縮小コピー同士のサイズが違っていても構わないのではないかしら、と思うのだが(何か慣習でもあるのだろうか。不思議とそういうのをレプタイルと呼んでいるのは見たことがないのだが)、等分しないような例も色々と挙げることができる。

(1)~(4)は正方形の正方形による分割。等分になるときもあるが、6以上なら任意の個数に分割できる。(5)のような分割は任意の直角三角形で可能である。(6)は「正方形をサイズがすべて異なる小正方形に分割せよ」というルジンの問題の、duijvestijnによる最少個数の解。(7)はコッホ雪片というフラクタル図形である。どれも輪郭線と中のタイルが同じ形になっている。
最後の(8)はアムマンのタイルという奴で、ちょっと変則的な置換規則を使うと、サイズの異なる2種類のタイルによる"非周期的な"平面敷き詰めを構成できる。置換規則は次のようなパターンだが、ご理解いただけるだろうか。

ちなみに、アムマンのタイル張りについては、数学セミナー2012年2月号の秋山茂樹さんの記事「準結晶の数学的モデル」を参考にした。同じく秋山茂樹さんの"A NOTE ON APERIODIC AMMANN TILES"も参考になる、と思うのだけれど、ちゃんと読んでいません。あしからずご了承ください。
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6月6日、追記。英語を読まないのは悪いくせだ。wikipediaによれば、等分ではないタイプのレプタイルは、"irregular rep-tile"または"irreptile"と呼ばれているようだ。ここに色々な例があるのを見つけた。