幾何学模様のブログ みずすましの図工ノート

折り紙とペンローズタイル

折り紙でペンローズタイルを作る試みにはいくつか前例がある。

・紙の輪っかを貼り合わせて木口で表現したもの

・平織り（Origami Tessellation）で表現したもの

・ロバート・J・ラングさんのペンタジア(平面に正投影するとペンローズタイルになるユニット折り紙)

などである。

一方、ペンローズタイル自体を折紙作品の展開図だと思って折ってやると、何ができるだろう。もちろん、そのまま（ひし形のタイルのまま）では上手く折れないので折り線を足す必要がある。試行錯誤。トライしてみると、案外きれいに折れて面白かった。

前例がないかどうか、三谷純さんに聞いてみたら「聞いたことがないですので、面白い試みですね」とのお返事を頂き、これは有望かもしれないぞと嬉しくなってしまった。折る前の原紙はこれである。

どういう経緯でこれを思いついたのか。私の所属するパズル懇話会の会誌の編集を今回仰せつかったのだが、この会誌、モノクロ印刷である。表紙に使えるいい模様はないかと、過去のブログ記事を読み返していたら「ペンローズタイルの作り方」の途中段階、二等辺三角形タイリングの状態が二色で塗り分けできることに気が付いた。
ここで、ふと折り紙の「二色定理」を思い出した（平坦に折り畳める折り目で区切られた領域は、二色で塗り分けが可能である）。川崎定理 の条件も満たしているみたいだ。逆は必ずしも真ならずではあるのだが、何だかこれは折れるのではないか。折ってみよう。試しに折ってみたら、できてしまった。という訳で、もしも会誌がフルカラーであったなら、おそらく今回の発見はなかったのである（平坦折りについての解説は、三谷純さんの折り紙研究ノートをご参照頂きたい）。
山折り谷折りは試行錯誤で決めたので、分析が行き届いておらず、どこが山でどこが谷かを描き込んだ展開図はまだ作っていない。たぶん、前川定理の条件(平坦折りの頂点に集まる「山折り」と「谷折り」の数の差は±2)も満たしているとは思うのだが、大局的には平坦に折り畳めないらしい。
他の非周期模様（たとえば、Danzer's 7-fold variant）や、もっと大きなサイズのペンローズタイルが上手く折れるかどうか。これも気になるところである。とりあえず、今日はここまで。

多面体木工 積み木インテリアギャラリー訪問記

5月4日(日)『多面体木工』で有名な、中川宏さんにお会いして来ました。

多面体木工(増補版)

佐藤 郁郎,中川 宏/特定非営利活動法人 科学協力学際センター

訪れたのは、山口県萩市にある「積み木インテリアギャラリーいたち丸」。昨年の夏頃にオープンしたそうです。ゴールデンウィークは、息子の初節句のお祝いのため山口県に帰省していたのですが、調べてみると、実家から車で１時間くらいの場所にありました。思い立ったが吉日。電話でアポイントを取って、妻と子とうちの親父と、４人で向かいました。

予備知識ほとんどなしで伺ったのですが、壁の写真には私も知っている方々のお顔がちらほら。中川さんのお人柄もあって、じつに楽しい時間を過ごすことができました。

妻と私がチャレンジしたのは、正十二面体の切り出し体験。

１種類の治具を使って、立方体を12回カットするだけで、発泡スチロールの正十二面体ができてしまいます。

赤いのは目印の線です。お土産に二個頂きました（お代は材料費のみ）。

切り出し体験もさることながら、展示物には、いろんな木のオブジェが沢山。

これは三種類の立体（正十二面体と立方体とジョンソン・ザルガラー多面体）による、空間充填。
平面の裁ち合わせを応用したパズルもありました。

工房の色んな治具。
庭のブランコ。
もうひとつお土産に、息子のための歯固めも頂きました。

家族連れ、しかも私を含む３人は風邪を引いていたために、１時間ほどで退散してしまいましたが、１人ならたっぷり半日は居座っていたのではないか。また帰省した折には押しかけようと思います。
多面体好き、幾何学ファンの皆様。山口県にご用の際は、ぜひ「積み木インテリアギャラリーいたち丸」まで、足を伸ばしてみては如何でしょうか。

裁ち合わせの問題 Both Sides Now 出題編１とその解答例

裁ち合わせの問題 Both Sides Now シリーズの続編。

パズル懇話会（Academy of Recreational Mathematics, Japan）での発表スライドを、またWeb用に改造して公開したので、そのご紹介である。詳細は次のSlideShare上のスライドをご参照いただきたい。




前回は主に正多角形のBoth Sides Nowについての研究だったが、今回は長方形と平行六辺形のBoth Sides Nowが研究対象である。正多角形と大きく違うのは、額縁の内と外とが相似にならないところ。結構自由度が高いので、この路線だけでも色々な問題を作れそうだ。

面積が同じ多角形同士ならいつでも裁ち合わせ可能なのだけれど、ときどき特別にピース数が少なくて済む時がある。その特別なケースを探ること（＝設問を考えること）それ自体がパズルとして面白いのだけれど、なかなかこの面白さは、やっている本人以外には伝わりづらい性質ものかもしれない。

ぜひ手を動かして、参加して貰えると嬉しい。

半正三角形による平面充填

そのうち記事を書くつもりの相似タイリングの例として。



色は4色使ったけれど、タイルのサイズは3種類。タイルの形は、どれも内角が30度、60度、90度の直角三角形（半正三角形）である。

アニメの中割りテスト

これまでこのブログのために作ったアニメーション。一部を除いては、コマとコマの間隔（変化の割合）を、線形に分割していた。

角度を均等に分けたり、辺の長さを均等に分けたり。たとえば、前々回記事のアニメーションを例にとれば、こんな感じだった。


車で言うと、急発進・急停車になっている。

一方、サインカーブを使って中割り（キーフレームの補間）をすると、動き始めと動き終わりのところの変化を小さくできる。


コマの数は同じなのだけど、やっぱりこれはサインカーブを使った方が自然かな。