人気ブログランキング | 話題のタグを見る

幾何学模様のブログ みずすましの図工ノート

j344.exblog.jp
ブログトップ
前回の「模様展示の標準化 その4」で言及した、六角格子ベースのp3,p31m,p3m1,p6,p6mの内、残りのp31m,p3m1,p6mと、正方格子ベースのp4,p4g,p4mについて、模様の例を挙げておこう。


模様展示の標準化 その5_a0180787_2363523.gif



模様展示の標準化 その5_a0180787_23472968.gif



模様展示の標準化 その5_a0180787_236567.gif



模様展示の標準化 その5_a0180787_237456.gif



模様展示の標準化 その5_a0180787_2371082.gif



模様展示の標準化 その5_a0180787_2371622.gif



これらの縮尺は、「模様展示の標準化 その4」で述べたやり方に基づいて決めている。すなわち、5×5の正方形を用意しておいて、p31m,p3m1,p6mについては、格子を構成する正三角形の面積を1に標準化。p4,p4g,p4mについては、格子を構成する正方形の面積を1にしている。角度についても対称性を考慮して決めた。

あとの9種類についても、同様の方法で標準化したいのだが、すこし事情が違うところがある。それは、格子を構成する平行四辺形の選び方が一意的ではない点である。ただし、その選び方で平行四辺形の面積が変わるかといえば、たぶん大丈夫だろう。ピックの定理により、それらの平行四辺形は、どれも面積が一致するからである。次は、この辺りの事情を整理しようと思う。

と、いま別のことが心配になり始めた。六角格子(正三角格子)のときだけ、単位を正三角形にしたのは失策だったかもしれない(他は格子を構成する単位がすべて四角形になってしまうので)。これについては、またいずれ、少し進んだときに、整合性を考えて見直すことにしよう。
# by j344 | 2013-05-01 23:52 | 幾何学模様大図鑑
周期的タイリングの模様例の整備をする中で、縮尺についての考えを改めた。まず例を示そう。

対称性によってp3に分類される模様。
模様展示の標準化 その4_a0180787_2125576.gif



そして、p6に分類される模様である。
模様展示の標準化 その4_a0180787_2125992.gif



よく似ているが、60度回転で自分自身に重なるか、120度回転しないと自分自身に重ならないかの違いがある。

いま注目するのは縮尺。「模様展示の標準化 その3」で述べたのとは、違う基準で選んである。これは、同じ格子が使われていたら、格子の縮尺を同じにするべきではないかと考え直したからである。

次の図を見ると話が早い。

模様展示の標準化 その4_a0180787_21251453.gif



模様展示の標準化 その4_a0180787_21251898.gif


つまり、赤い三角形のサイズが等しくなるように縮尺を選んだ訳である。たとえば、p3-08はタイルとタイルの間に隙間がある。「模様展示の標準化 その3」のユニット面積を合わせるというルールは適用できないけれど、格子の縮尺を合わせるという基準であれば、問題なく適用できる。

格子の種類は、いまp3とp6で見たのが六角格子(正三角格子)と呼ばれる格子。この他に、正方格子、長方格子、面心長方格子、斜方格子がある。

六角格子(正三角格子)を基にする模様は、p3,p3m1,p31m,p6,p6mの5種類があるけれど、どれも同じ形の格子なので、縮尺の標準化は簡単だ。正方格子同士も同じ形なので、これを基にするp4,p4m,p4gの3種類についても、縮尺の標準化は易しい。たとえば、格子を構成する三角形の面積と正方形の面積を合わせてやればいい。

あとの9種類(模様は対称性で17種類。17-5-3=9)が、長方格子、面心長方格子、斜方格子からなる模様だが、このあたりの縮尺の話については、また改めて議論しよう。
# by j344 | 2013-04-21 23:22 | 幾何学模様大図鑑

今後の予定

縮尺の標準化シリーズで、ペンローズタイルを取り上げる予定だったが、路線変更する。周期的でないグループは、まとめて論ずるべきだと考え直したからである。

1 ペンローズタイルについて
(1) 置換ルールとマッチングルールについて
前回「ペンローズタイルの作り方」で取り上げたのは、サブスティテューション(置換)による構成である。通常、ペンローズタイルの紹介では、タイル同士のくっつけ方(どの辺とどの辺がくっついて、どこはくっつかないか)を規定して、敷き詰めを行う。後者のルールをマッチングルールという。これらふた通りの構成ルール、相互の関係について分析する。

(2) ペンローズタイルの拡張(正7角形版)について
ペンローズタイルは正5角形を基本にしているが、他の正多角形を基本にしても非周期的なタイリングは可能であろうと思っている。残念ながら私は単なる模様愛好家なので、これが未解決問題なのか、誰かがすでに解決しているのか、よく分からないのだが。候補となるタイルの組み合わせの見つけ方は、過去にも記事にした。今できそうなのは、正7角形版の、置換ルールによる構成の分析である。
http://www.quadibloc.com/math/heptint.htm
ここでやられていることの追試験的なことになるかもしれない。

2 模様(タイリング)の分類について
大きく分けて、(1)タイルの形状に関する条件、(2)タイルの種類・組合せに関する条件、(3)タイルの繋がり方に関する条件。3項目による分類が考えられる。それぞれにつき、図を交えながら解説する。

3 周期的タイリングの模様例の整備
周期的タイリングについては、模様展示方法がほぼ標準化できてきた。実例を並べて、どんな感じになるか検証したい。周期的タイリングは対称性のパターンから17種類に分類されるが、それぞれ2~3例は欲しい。幾何学模様大図鑑への布石としても重要なので、実際に作ってみる。
17種類の分類については下記を参照:
http://mathinfo.sci.ibaraki.ac.jp/open/mathmuse/pattrn/Pattern.html

4 ツールの紹介
Inkscape、IrfanView、padieなど。

5 参考文献の紹介
いろいろあるので、引用の準備のためにも、まとめておきたい。

以上、予告通り進むか分からないが、私的な忘備録まで。
# by j344 | 2013-03-20 08:35 | このブログについて

ブログタイトル変更

ブログのタイトルを「壁紙大明神」から「みずすましの図工ノート」に変更しました。

今後とも、よろしくお願いいたします。
# by j344 | 2013-02-24 11:38 | 記録
たびたびこのブログで話題にしているペンローズタイルだが、今後のために作り方をまとめておくことにする。

ペンローズタイルは、物理学者ロジャー・ペンローズが考案した、非周期な平面充填形。次の図のようなタイリングパターンである。

ペンローズタイルの作り方_a0180787_123018.gif


2種類のひし形タイルが配置されている(ふちのところだけ、ひし形以外のタイルが現れているが、いまは無視しよう)。くり返しの単位、ユニットは存在しない。けれど、無秩序ではなく、あるルールに基づいて配置されている。どうやって作るのか。

まず、正五角形を用意しよう。対角線を引いて分割すると、2種類の二等辺三角形ができる。

ペンローズタイルの作り方_a0180787_125148.gif


このふたつの三角形を、どんどん増殖させる。基本となるのは、次の操作である。

ペンローズタイルの作り方_a0180787_13425.gif


step1の三角形A1とB1を並べていくと、step2のA2とB2を作ることができる。A2は、B1に、108°回転したA1をくっつけて作る。B2は、216°回転したB1に、左右反転したA2をくっつけて作る。この、裏返しの操作が入るところが、少しややこしい。

大切なのはstep2の輪郭である。A2は少し大きくなっているがA1と同じ形である。B2もB1と同じ形。ということは、A2とB2にさっきと同じ操作を加えることができる。

ペンローズタイルの作り方_a0180787_84617.gif


A3は、B2に、108°回転したA2をくっつけて作る。B3は、216°回転したB2に、左右反転したA3をくっつけて作る。以下同様に、step5まで描くと次のようになる。

ペンローズタイルの作り方_a0180787_131731.gif


無限に続けるわけにいかないので、次のA6でストップしよう。A6と上下反転させたA6をくっつけてみる。

ペンローズタイルの作り方_a0180787_132841.gif


ここまで裏表を区別してきたが、裏表を同じ色にする。さらに、左端の点を中心に5回対称のコピーをつくってみる。具体的には72°回転したもの、144°回転したもの、216°回転したもの、288°回転したものとオリジナルの回転してないもの(0°回転)の5つをくっつける。

ペンローズタイルの作り方_a0180787_133889.gif


ちょうどうまい具合に、三角形の辺がくっついて、ひし形ができている。境界線の一部を取り除くと、最初の図ができる。
# by j344 | 2013-02-24 01:08 | 幾何学模様大図鑑

幾何学模様について研究するブログです。幾何学模様大図鑑の制作を目指しています。


by j344