正五角形ぐるぐると正七角形ぐるぐる

先日、中川宏さんの積み木インテリアギャラリーに訪問した際、お土産に正五角形の板をたくさん頂いた。

さてどうやって遊ぼうかしらと、よく思案もしないままパズル懇話会で紹介したところ、いわいまさかさんから、ぐるぐる巻いてはどうかと提案があった。それは面白そうだ。という訳で、やってみた。

こんな感じで、同じ向きにぐるぐる巻きにしていく。正五角形同士は辺で繋ぎ、既に置いた正五角形の板に重ならないように、なるべく密に充填していく。これを続けていくとどんな形ができるだろう。

少し世代を進めると、こんな感じになる。何かパターンが見えるだろうか。

隙間のひし形に注目する。向きに注意して、色を付けてみるとこんな感じ。

どうも、横一列に並ぶ紫色のひし形を除けば、ひし形の向きは同じみたいだ。なんだか、対称性もある気がする。一周巻くごとに薄く色を付けてみよう。

するとこんな感じになる。色付けした個所の形、ぼんやり眺めると六角形に見える(平行六辺形というのだろうか。もちろんよく見ると辺に相当する部分がギザギザしているので六角形ではないのだが)。巻く回数を増やすと、この六角形っぽい領域が、だんだん太くなっていくようだ。始めの方は不規則に見えたけれど、けっこう規則的である。

さて、そもそものきっかけ。頂いた正五角形の板から離れるが、これが正七角形だとどうなるだろう。

最初のうちはこんな感じである。正五角形のときより不穏な感じがする。これを続けると、はたして。

こうなる。が、いまいち規則性が見えない。この先どうなっていくのだろう。分かった人は教えてほしい。