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高木曲面(2変数版の高木関数) その2

前々回の記事「高木曲面(2変数版の高木関数)」で、アルキメデスが高木関数に似た方法で放物線を作ったと書いた。放物線ではなく、回転放物面を作るにはどうしたらよいだろうか。

前々回の構成を真似て、次のようなピラミッドの列を考えてみる。左のグラフと真ん中のグラフ、高さを足すと右のグラフができる。
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22434537.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22443360.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22445503.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22451237.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22454338.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22461588.gif
この各ステップを順番に積み重ねていく。
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22475500.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22481358.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22483304.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22490366.gif
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22491868.gif
と、こんな感じになって、どうやら右のグラフは回転放物面に収束しそうである。左のグラフと真ん中のグラフは、どちらもピラミッドを積み重ねて作っただけあってよく似ている。たとえば、左のグラフを3Dプリンターで作っておく。真ん中のグラフをピンプレッションで作っておいて、ふたつを重ねると回転放物面ができる。そんなおもちゃを作ることが可能かもしれない。

参考まで、回転放物面 z=0.5-(x-0.5)^2-(y-0.5)^2 のグラフを描いておく。

高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_22515082.gif
本当に回転放物面に収束するかどうかだが、実際、アルキメデスの結果から、正方形[0,1]×[0,1]の対角線のところと輪郭のところに現れる曲線は放物線であることがすぐに分かる。他がちゃんと上手く行っていることを証明するにはどうすればよいだろう。

ところで、前々回の高木関数2変数版。あれはちゃんとした拡張だったのだろうか。放物線と高木関数のアナロジーで考えると、回転放物面に対応するのは、次のグラフの方が適切かもしれない。
高木曲面(2変数版の高木関数) その2_a0180787_23053856.gif
世の中には、同じようなことを考える人がいるもので。これはYoshiaki Arakiさんに教えて頂いた、mont Takagiというのと、たぶん同じ関数だと思う。

by j344 | 2013-12-02 23:16 | 数学

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