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いわいまさかさんとのコラボ。凸五角形アニメのその2である。

既にいわいさんのブログ

で詳しく取り上げられている。凸五角形アニメと言いながら、
じつは途中で凹んだ五角形になったり四角形になったりする。

こんなのや
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こんなのだ。
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分類上は、知られている14種類のうちのtype13に属する五角形である。後の方のアニメは途中で形がするするっと切り替わって騙されたような気がする。過去にも書いたことがあるが、こういう動きを見るとゲシュタルト心理学で言うところのプレグナンツの法則を思い出す。

by j344 | 2015-05-27 14:06 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

いわいまさか さんとのコラボ。今回も幾何学アニメだが、テーマはフラクタルから離れる。合同な凸五角形による平面充填である。

平面充填できる凸五角形には少なくとも14種類のタイプがあるらしい。http://katachi-jp.com/paper/26(2).pdfの4ページ目に記載がある。この14タイプの内、自由度がちょうど1の(パラメータ1つで描ける)ものは、9種類。この9種類は、パラメータを時間とともに変化させることで、自然にアニメーションにすることができる。ということで、いわいさんの力を借りてトライしてみたのが、Type3とType10のアニメ化である。ちなみに役割分担は、私が個々の五角形の座標計算を主に担当し、あとはいわいさんの方で形にしてもらった。
これがType3で
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これがType10
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静止したところでは、五角形ではなくて四角形になってしまっている(退化している)。Youtubeはこちら。
Type3 
Type10
Type10面積一定版

この他のタイプを自由度(アニメ向きかどうか)で分類すると、
自由度5× type1
自由度4× type2
自由度2△ type4
     type5
自由度1 type6
     type7
     type8
     type9
自由度1type3
     type10
     type11
     type12
     type13
自由度0× type14

こんな感じである。自由度1を◎と○に分けたのは、〇の4種類の計算にはarctan(タンジェントの逆関数)が出てきて、場合分けが面倒くさいので減点してみた。

さて。とりあえず、アニメができてよかったバンザイと喜んだのもつかの間。
https://www.youtube.com/watch?v=7G9dcEBXYY8
http://demonstrations.wolfram.com/PentagonTilings/
2009年にはこのような取り組みが、Ed Pegg, Jr. さんによって、すでに行われていたことを見つけてしまった。ただのアニメではなくて、インタラクティブな遊び方ができるので、ぜひ遊んでみてほしい。
さて、そうなると、これから何をするか。とりあえず、Type間の共通部分について調べてみたいと思っている。たとえば、Cairo pentagonal tilingはいくつかのTypeに重複して登場する。

それと、Ed Pegg, Jr.さんのツールでは除外されているけれど、パラメータを限界以上に変化させると凹五角形による平面充填ができる場合がある。落穂ひろいみたいな感じだが、この辺りをアニメ化してみても面白いかもしれない。

とりあえず、今日はここまで。

by j344 | 2015-05-14 00:05 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(1)

いわいまさかさんとのコラボ。フラクタルアニメのみっつめ。
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このところ幾何学模様に関係なさそうな記事が続いたが、ようやく模様に戻ってきた。幾何学模様のブログ、面目躍如である。よく見ると、どの瞬間も二種類のタイル(4回対称のタイルと、サイズこそ違うものの同じ形の2回対称のタイル)で出来ている。YouTubeで、ときどき一時停止して確認してみて欲しい。

これは、一般化されたコッホ曲線を、ある動く壁紙のパターンに貼りつけたものである。これが一般化されたコッホ曲線。



パラメーターの角度θが45度のとき空間充填曲線 になる(フラクタル次元 は2次元)。いわいさんのブログにも解説記事がある。

これを、このタイプの動く壁紙に上手く貼りつけると、最初のアニメができる。


by j344 | 2014-11-24 15:33 | 動く壁紙 | Comments(1)

いわいまさかさんとのコラボ。フラクタルアニメのみっつめ。
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これまでのフラクタルアニメその1その2の正方形ベースから離れて、シェルピンスキーのギャスケットがモチーフのアニメである。

シェルピンスキーのギャスケットは、ふつう3つの相似変換(相似縮小)を使って作るのだけれど、見ようによっては、こんなふうに5つの相似変換でできていると思うこともできる(ひとつの色がひとつの相似変換に対応)。



3つでできるところを、わざわざ5つ使うところがポイント。詳しくは説明しないけれど、じつは3つで回すとシェルピンスキーのギャスケットが形を変えずに単に回転するだけになってしまうのである。

続けてみても面白い。



ちなみに、いわいさんにお願いした時の元ネタは、こんなざっくりした絵だった。これが、ああなる。いわいさんに感謝。

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描画には、カオスゲームという点描的な方法を使っている。点をひとつずつ描画する過程で確率的な選択が必要なのだけど、うまく確率を設定しないと点描に粗密のムラができる。今回の個人的な収穫は、確率の設定にフラクタル次元が関係する、ということが分かったことだった。

以下はマニア向けだが、念のため書いておきたい。

****************

IFSを構成する相似縮小の縮小率をa1,a2,…,anとするとき、
a1^d+a2^d+...+an^d=1 となるdを、
そのIFSで定められる自己相似集合Fの次元と呼ぶことにする。

このとき、カオスゲームの確率を
a1^d,a2^d,...,an^dとすると、粗密のムラが起きない。


by j344 | 2014-11-05 00:18 | 動く壁紙 | Comments(0)

いわいまさかさんとのコラボ。フラクタルアニメのふたつめ。


自分自身のミニチュアが4つあって、その縮小率が0~0.5まで変化していく。縮小率0.5のとき、中身の詰まった正方形になる。そこから白黒反転して続くのは、いわいさんの案。

さて。このアニメ、見方によっては自分自身のミニチュアが16個あると思うこともできる。ミニチュア4個が第一世代だと考えれば、第二世代が16個ある訳だ。縮小率を変えていく途中で、ミニチュアの個数を16個から4個に減らしたら、循環するアニメができるのではないかしら。

これは面白そうだと、ひとりで盛り上がった。そこで、いわいさんにお願いして作ってもらったのが次のアニメ。



なのだけれど、いわいさんの評は「どうなるんだろうな~と注目してると消えますw」。私の感想も「線香花火の風情ですねえ。もののあはれ」ということで、いささか企画倒れになってしまった。

フラクタルアニメのその1もその2も、じつは背景に「フラクタル図形(自己相似集合)同士の包含関係への興味」がある。どんな順序構造があって、どう遊べるのか。

きっと、これだけだとまだ伝わりにくい。コラボレーションは続きます。

by j344 | 2014-11-02 00:01 | 動く壁紙 | Comments(1)

友人のいわいまさかさんにお願いして、幾何学アニメを形にしてもらいました。フラクタル図形が踊ります。
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元の記事(いわいさんのブログ)ではアプリが公開されています。

コラボは続きます。乞う、ご期待!

by j344 | 2014-10-09 23:36 | 動く壁紙 | Comments(0)

くるくる回る白いドット

最近、GIZMODOの「このくるくる回る白いドット、実は真っ直ぐ往復してるだけなんだぜ」という記事をTwitter他で紹介した。"Crazy Circle Illusion! "という、ふた通りの解釈ができるアニメーションの紹介記事である。

すると、友人の宮本尚さんから「これは、それぞれのドットの動くタイミングを変えるとどうなるんですか?」という質問があった。少し考えて「白いドットでできた図形が変形して行くのではないかと思います」と答えたのだが、そのときはどんなふうに変形するのかまでは想像が及ばなかった。今日は実際にアニメーションを作ってみたので、それをご紹介したい。

ひとつの白いドットの移動速度に注目すると、もともとの動画は速くなったり遅くなったりしている。大きな円の中心付近では速く、円周付近では遅い。まず考えたのは、この白いドットの移動速度を等速にしたらどうなるかということである。やってみたのが次のgifアニメ。
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確かに変形している。補助線を引くとこんな感じになる。
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それぞれの白いドットが等速で直線上を往復しているのが分かる。

さて、白いドットでできた図形。円は等速の往復運動で変形したが、等速の往復運動で変形しないような図形もある。どんな図形だろう。

たとえば、こんなのが考えられる。
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回転しているように見える。これも補助線を引いてみよう。
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中心付近がごちゃごちゃするが、直線上の等速往復運動である。

他にもタイミングを変える方法は色々考えられるが、まだトライしていない。いずれにしても、白いドットでできた図形の形が変わらないのは、なかなか稀なことのような気がする。

by j344 | 2014-07-27 17:15 | 数学 | Comments(0)

アニメの中割りテスト

これまでこのブログのために作ったアニメーション。一部を除いては、コマとコマの間隔(変化の割合)を、線形に分割していた。

角度を均等に分けたり、辺の長さを均等に分けたり。たとえば、前々回記事のアニメーションを例にとれば、こんな感じだった。
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車で言うと、急発進・急停車になっている。

一方、サインカーブを使って中割り(キーフレームの補間)をすると、動き始めと動き終わりのところの変化を小さくできる。
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コマの数は同じなのだけど、やっぱりこれはサインカーブを使った方が自然かな。
by j344 | 2014-02-13 01:13 | 動く壁紙 | Comments(0)

昨年の夏頃パズル懇話会(Academy of Recreational Mathematics, Japan)に入会。先日、その例会で初めて発表した。

内容は、裁ち合わせ(Geometric Dissection)に関するもの。発表で使ったスライドを、Web用に改造し、下記で公開しているので、ご参照いただきたい。
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この発表は、MINEさん(ブログ:PUZZLE of MINE)のご支援なくしては、成り立たなかった。大半の結果はMINEさんのものである。私は、Both Sides Now シリーズの発案の部分を担当。いくつかの最少ピース解の記録を作れたのが自負できる部分である。もちろん、これが最少である保証はないので、記録更新できた方は、ぜひ知らせて頂きたい。

多角形の裁ち合わせについては「面積の等しい多角形同士は、裁ち合わせ可能」という、ボヤイ・ゲルヴィンの定理というのが知られている。このため、個別の図形について設問するときには「ピース数をなるべく少なくする」「対称性に条件をつける」など、何らかの制約をする必要がある。

裁ち合わせには今回、初めて取り組んだのだが、難しすぎず簡単すぎず、ちょうどよい手ごたえだった。裁ち合わせは、Dissection Tilingなどに見られるように、模様とも関係が深い。遊びのルールのコンセプト作りや、その形固有の性質の発掘。まだまだフロンティアがありそうだ。今後もさらに遊んでみたい。

最後の方のスライド。アニメーションだけ、slideshareではお見せできなかったので、ここで補っておこう。
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このアニメの元ネタは、裁ち合わせのバイブルとして知られる、フレデリクソンの本のp264.

Hinged Dissections: Swinging and Twisting

Greg N. Frederickson / Cambridge University Press


バイブルはあと何冊かあるので、ここで紹介しておこう。

Dissections: Plane and Fancy

Greg N. Frederickson / Cambridge University Press


Recreational Problems in Geometric Dissections and How to Solve Them

Harry Lindgren / Dover Pubns


by j344 | 2014-02-08 15:56 | パズル | Comments(0)

animation wave5

こりずにgifアニメです。三角波四角波に引き続き、五角波。
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どこで一時停止しても周期的な模様ではありません。五回対称の中心はひとつ(正方形の中心)だけです。……少し格子を粗くとりすぎてしまったかもしれません。

by j344 | 2013-12-07 20:46 | 動く壁紙 | Comments(0)