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黄金比の拡張について

黄金比の一般化としては、たとえば貴金属比というのが知られている(白銀比青銅比など)。でも、ここで考えたいのは、別の方向への拡張だ。

黄金比は正5角形と関係が深い。正7角形や正9角形、一般の正n角形で黄金比に相当するものは何だろうか。この辺りのことがわかると、ペンローズタイルの拡張を考えるのに役立ちそうだ。少し難しいけれど、やってみよう(なお、ペンローズタイルをご存知ない方は、過去の記事「ペンローズタイルの作り方」を参照頂きたい)。

まず、おさらい。正5角形に対角線を引くと、2種類の二等辺三角形ができる。
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各二等辺三角形を、拡大縮小。等辺の長さをぜんぶ1に揃えてみる。
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このとき、底辺の長さに黄金数φ=1.618…が登場する。左の三角形の底辺がφ、右の三角形の底辺が1/φ=φ-1である。正5角形を並べたり、対角線を分割したりすると、いろんなところにφに関係した長さが登場する。 黄金比の性質、さまざまな関係式については、wikipediaを参照してほしい。


さて拡張。正多角形を考える。ここでは、正11角形を例として考えよう。対角線を引くと、たくさんの二等辺三角形ができる。次の5種類の二等辺三角形に注目する。
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各二等辺三角形を、拡大縮小。等辺の長さを1に揃えてみる。
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これらの三角形の底辺の長さを、左からそれぞれb1~b5とする。

このとき、次のような関係式が成り立つ。

(1) b1b2b3b4b5=1
(2) b1-b2+b3-b4+b5=1
(3) b1b2=b3+b1
(4) b2b3=b5+b1

(1)(2)は美しいが、(3)(4)はよく分からない。でも、掛け算が変な足し算になったりしていて面白い。端数が出てこずにb1~b5だけで書けるのも不思議だ。乗積表(もどき)を作っておくと法則性が見えるかもしれない。
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どう証明するか。1の22乗根を使うと上手く計算ができる。

なぜ突然1の22乗根が出てくるのか。正n角形と1のn乗根には深い関係があって、zn=1の根は複素平面上で単位円をn等分する。次の図を見ると、b1~b5が1の22乗根で表せそうな気がしてくる。
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という訳で、z=e(π/11)i=cos(π/11)+i sin(π/11)とおくと、b1~b5は次のように書ける。
b1=z-z10
b2=z2-z9
b3=z3-z8
b4=z4-z7
b5=z5-z6

これで準備が整った。複素数の計算に慣れていないと分かりにくいかもしれないけれど、あとは、
z11=-1と
z10-z9+z8-z7+z6-z5+z4-z3+z2-z+1=0
に注意して計算すればよい。ひとつやってみると、こんな感じだ。

b1b2=(z-z10)(z2-z9)
   =z3-z10-z12+z19
   =z3-z10+z-z8
   =(z3-z8)+(z-z10)
   =b3+b1

ところで黄金比はどこへ行ったのか。じつは先ほどの(1)と(2)が黄金比の持っていた性質の自然な拡張になっている。正5角形にもどってみると、ふたつの底辺の掛け算φ(1/φ)=1に相当する性質が(1)で、ふたつの底辺の引き算φ-(1/φ)=φ-(φ-1)=1に相当する性質が(2)だ、というふうに見ることができる。また、φ11=b1とおくことにして先ほどの関係式を駆使すると、b2~b5をφ11で表すことができる。面倒なので書かないが、興味のある方は計算してみてほしい。この辺りも黄金数φに似た性質ということができるだろう。

最後に、ペンローズタイルの拡張との関係。最初の5種類の二等辺三角形。底辺のところに鏡を置くと、ひし形が5種類できる。
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これをたとえばこんな風に並べることができる。
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上手く並べると、きっとペンローズタイルの正11角形版ができる。しかし、まだその並べ方を見つけていない。並べ方の分析には、きっと辺の長さや面積の計算が必要だ。その計算には今回検討した、黄金比の拡張を使うことができる。

今回は触れなかったが、各二等辺三角形の面積についても綺麗な表示ができて、なかなか美しい関係式がある。これはまたの機会にまとめようと思う。

正7角形や正9角形でも、正11角形で議論したことの類似が成り立つ。nが合成数か素数かなどによっても、いろいろ様子が違ってくるみたいだが、拡張の基本はこんな感じで行けるのではないかと思う。

by j344 | 2014-07-10 00:32 | 数学 | Comments(4)

折り紙でペンローズタイルを作る試みにはいくつか前例がある。

ロバート・J・ラングさんのペンタジア(平面に正投影するとペンローズタイルになるユニット折り紙)

などである。

一方、ペンローズタイル自体を折紙作品の展開図だと思って折ってやると、何ができるだろう。もちろん、そのまま(ひし形のタイルのまま)では上手く折れないので折り線を足す必要がある。試行錯誤。トライしてみると、案外きれいに折れて面白かった。
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前例がないかどうか、三谷純さんに聞いてみたら「聞いたことがないですので、面白い試みですね」とのお返事を頂き、これは有望かもしれないぞと嬉しくなってしまった。折る前の原紙はこれである。
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どういう経緯でこれを思いついたのか。私の所属するパズル懇話会の会誌の編集を今回仰せつかったのだが、この会誌、モノクロ印刷である。表紙に使えるいい模様はないかと、過去のブログ記事を読み返していたら「ペンローズタイルの作り方」の途中段階、二等辺三角形タイリングの状態が二色で塗り分けできることに気が付いた。

ここで、ふと折り紙の「二色定理」を思い出した(平坦に折り畳める折り目で区切られた領域は、二色で塗り分けが可能である)。川崎定理 の条件も満たしているみたいだ。逆は必ずしも真ならずではあるのだが、何だかこれは折れるのではないか。折ってみよう。試しに折ってみたら、できてしまった。という訳で、もしも会誌がフルカラーであったなら、おそらく今回の発見はなかったのである(平坦折りについての解説は、三谷純さんの折り紙研究ノートをご参照頂きたい)。

山折り谷折りは試行錯誤で決めたので、分析が行き届いておらず、どこが山でどこが谷かを描き込んだ展開図はまだ作っていない。たぶん、前川定理の条件(平坦折りの頂点に集まる「山折り」と「谷折り」の数の差は±2)も満たしているとは思うのだが、大局的には平坦に折り畳めないらしい。

他の非周期模様(たとえば、Danzer's 7-fold variant)や、もっと大きなサイズのペンローズタイルが上手く折れるかどうか。これも気になるところである。
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とりあえず、今日はここまで。

by j344 | 2014-05-22 23:40 | 折り紙 | Comments(1)

たびたびこのブログで話題にしているペンローズタイルだが、今後のために作り方をまとめておくことにする。

ペンローズタイルは、物理学者ロジャー・ペンローズが考案した、非周期な平面充填形。次の図のようなタイリングパターンである。

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2種類のひし形タイルが配置されている(ふちのところだけ、ひし形以外のタイルが現れているが、いまは無視しよう)。くり返しの単位、ユニットは存在しない。けれど、無秩序ではなく、あるルールに基づいて配置されている。どうやって作るのか。

まず、正五角形を用意しよう。対角線を引いて分割すると、2種類の二等辺三角形ができる。

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このふたつの三角形を、どんどん増殖させる。基本となるのは、次の操作である。

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step1の三角形A1とB1を並べていくと、step2のA2とB2を作ることができる。A2は、B1に、108°回転したA1をくっつけて作る。B2は、216°回転したB1に、左右反転したA2をくっつけて作る。この、裏返しの操作が入るところが、少しややこしい。

大切なのはstep2の輪郭である。A2は少し大きくなっているがA1と同じ形である。B2もB1と同じ形。ということは、A2とB2にさっきと同じ操作を加えることができる。

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A3は、B2に、108°回転したA2をくっつけて作る。B3は、216°回転したB2に、左右反転したA3をくっつけて作る。以下同様に、step5まで描くと次のようになる。

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無限に続けるわけにいかないので、次のA6でストップしよう。A6と上下反転させたA6をくっつけてみる。

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ここまで裏表を区別してきたが、裏表を同じ色にする。さらに、左端の点を中心に5回対称のコピーをつくってみる。具体的には72°回転したもの、144°回転したもの、216°回転したもの、288°回転したものとオリジナルの回転してないもの(0°回転)の5つをくっつける。

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ちょうどうまい具合に、三角形の辺がくっついて、ひし形ができている。境界線の一部を取り除くと、最初の図ができる。
by j344 | 2013-02-24 01:08 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(1)

有名なペンローズタイルのひし形、ファットとシンのペアは、
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こんな方法でも作図できる。

正5角形から始めたのを、正7角形から始めるとどうなるだろう。
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3種類のひし形(を組み合わせた正14角形)ができる。

辺の長さが等しいひし形の組合せなので周期的な平面敷き詰めが可能なのは当たり前なのだが、非周期的にも平面敷き詰め可能だろうか。

昔webの通販で、これと同じひし形を使った外国製の玩具を見かけたことがあった。そのせいだろう、これまでペンローズタイルの拡張、つまり平面を非周期的に敷き詰め可能だと思い込んでいた。実際のところは、どうなのだろう。私自身は怠慢・無能力の故に確かめていないのだけれど。

今度は正9角形。
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ひし形が4種類できる。

正11角形だと、
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ひし形が5種類できる。これらは非周期的な平面敷き詰めが可能だろうか。

正9角形バージョンについては、10年以上前にトライした結果が、私のホームページのトップ画像になっている。

http://ww4.tiki.ne.jp/~j344/index.html

のだが、やはり、よく分からない。根気がないのであろう。
by j344 | 2011-10-30 00:07 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(3)