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animation standardized expander3

expander3のアニメについて、各コマの縮尺を標準化してみました。

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expand(拡大)しなくなってしまいましたが、これはこれで構造がよく分かるのでよいと思います。
# by j344 | 2013-05-06 22:48 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation expander3

懲りずにgifアニメ。

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このあたりのネタは、戸村浩『基本形態の構造―立方体はブドウ酒の味がする』に載っていた気がするけれど、いま本がどこかに埋もれているので確認できない。そのうち発掘できたら、追記しようと思います。
# by j344 | 2013-05-06 08:46 | 動く壁紙 | Comments(1)

animation vortex6

またgifアニメを作ってしまいました。巻き込み系です。

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# by j344 | 2013-05-04 08:41 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation slide3

以前の記事「テスト3」のネタでgifアニメを作ってみました。

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ずっと見ていると酔います。うう、気持ち悪い。
# by j344 | 2013-05-03 08:55 | 動く壁紙 | Comments(0)

長らく絶版だった、中村義作さんの、この本。増補版になって復刻されました。

エッシャーの絵から結晶構造へ (バウンダリー叢書)

福田 宏 / 海鳴社



奥付を見ると第1刷発行が今年の4月25日です。

古本だと4,000円以上するところ、
なんと、福田宏さんの筆が加わって1,260円。模様好きの人はぜひ!
# by j344 | 2013-05-02 21:00 | 紹介 | Comments(0)

前回の「模様展示の標準化 その4」で言及した、六角格子ベースのp3,p31m,p3m1,p6,p6mの内、残りのp31m,p3m1,p6mと、正方格子ベースのp4,p4g,p4mについて、模様の例を挙げておこう。


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これらの縮尺は、「模様展示の標準化 その4」で述べたやり方に基づいて決めている。すなわち、5×5の正方形を用意しておいて、p31m,p3m1,p6mについては、格子を構成する正三角形の面積を1に標準化。p4,p4g,p4mについては、格子を構成する正方形の面積を1にしている。角度についても対称性を考慮して決めた。

あとの9種類についても、同様の方法で標準化したいのだが、すこし事情が違うところがある。それは、格子を構成する平行四辺形の選び方が一意的ではない点である。ただし、その選び方で平行四辺形の面積が変わるかといえば、たぶん大丈夫だろう。ピックの定理により、それらの平行四辺形は、どれも面積が一致するからである。次は、この辺りの事情を整理しようと思う。

と、いま別のことが心配になり始めた。六角格子(正三角格子)のときだけ、単位を正三角形にしたのは失策だったかもしれない(他は格子を構成する単位がすべて四角形になってしまうので)。これについては、またいずれ、少し進んだときに、整合性を考えて見直すことにしよう。
# by j344 | 2013-05-01 23:52 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

周期的タイリングの模様例の整備をする中で、縮尺についての考えを改めた。まず例を示そう。

対称性によってp3に分類される模様。
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そして、p6に分類される模様である。
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よく似ているが、60度回転で自分自身に重なるか、120度回転しないと自分自身に重ならないかの違いがある。

いま注目するのは縮尺。「模様展示の標準化 その3」で述べたのとは、違う基準で選んである。これは、同じ格子が使われていたら、格子の縮尺を同じにするべきではないかと考え直したからである。

次の図を見ると話が早い。

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つまり、赤い三角形のサイズが等しくなるように縮尺を選んだ訳である。たとえば、p3-08はタイルとタイルの間に隙間がある。「模様展示の標準化 その3」のユニット面積を合わせるというルールは適用できないけれど、格子の縮尺を合わせるという基準であれば、問題なく適用できる。

格子の種類は、いまp3とp6で見たのが六角格子(正三角格子)と呼ばれる格子。この他に、正方格子、長方格子、面心長方格子、斜方格子がある。

六角格子(正三角格子)を基にする模様は、p3,p3m1,p31m,p6,p6mの5種類があるけれど、どれも同じ形の格子なので、縮尺の標準化は簡単だ。正方格子同士も同じ形なので、これを基にするp4,p4m,p4gの3種類についても、縮尺の標準化は易しい。たとえば、格子を構成する三角形の面積と正方形の面積を合わせてやればいい。

あとの9種類(模様は対称性で17種類。17-5-3=9)が、長方格子、面心長方格子、斜方格子からなる模様だが、このあたりの縮尺の話については、また改めて議論しよう。
# by j344 | 2013-04-21 23:22 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

今後の予定

縮尺の標準化シリーズで、ペンローズタイルを取り上げる予定だったが、路線変更する。周期的でないグループは、まとめて論ずるべきだと考え直したからである。

1 ペンローズタイルについて
(1) 置換ルールとマッチングルールについて
前回「ペンローズタイルの作り方」で取り上げたのは、サブスティテューション(置換)による構成である。通常、ペンローズタイルの紹介では、タイル同士のくっつけ方(どの辺とどの辺がくっついて、どこはくっつかないか)を規定して、敷き詰めを行う。後者のルールをマッチングルールという。これらふた通りの構成ルール、相互の関係について分析する。

(2) ペンローズタイルの拡張(正7角形版)について
ペンローズタイルは正5角形を基本にしているが、他の正多角形を基本にしても非周期的なタイリングは可能であろうと思っている。残念ながら私は単なる模様愛好家なので、これが未解決問題なのか、誰かがすでに解決しているのか、よく分からないのだが。候補となるタイルの組み合わせの見つけ方は、過去にも記事にした。今できそうなのは、正7角形版の、置換ルールによる構成の分析である。
http://www.quadibloc.com/math/heptint.htm
ここでやられていることの追試験的なことになるかもしれない。

2 模様(タイリング)の分類について
大きく分けて、(1)タイルの形状に関する条件、(2)タイルの種類・組合せに関する条件、(3)タイルの繋がり方に関する条件。3項目による分類が考えられる。それぞれにつき、図を交えながら解説する。

3 周期的タイリングの模様例の整備
周期的タイリングについては、模様展示方法がほぼ標準化できてきた。実例を並べて、どんな感じになるか検証したい。周期的タイリングは対称性のパターンから17種類に分類されるが、それぞれ2~3例は欲しい。幾何学模様大図鑑への布石としても重要なので、実際に作ってみる。
17種類の分類については下記を参照:
http://mathinfo.sci.ibaraki.ac.jp/open/mathmuse/pattrn/Pattern.html

4 ツールの紹介
Inkscape、IrfanView、padieなど。

5 参考文献の紹介
いろいろあるので、引用の準備のためにも、まとめておきたい。

以上、予告通り進むか分からないが、私的な忘備録まで。
# by j344 | 2013-03-20 08:35 | このブログについて | Comments(0)

ブログタイトル変更

ブログのタイトルを「壁紙大明神」から「みずすましの図工ノート」に変更しました。

今後とも、よろしくお願いいたします。
# by j344 | 2013-02-24 11:38 | 記録 | Comments(0)

たびたびこのブログで話題にしているペンローズタイルだが、今後のために作り方をまとめておくことにする。

ペンローズタイルは、物理学者ロジャー・ペンローズが考案した、非周期な平面充填形。次の図のようなタイリングパターンである。

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2種類のひし形タイルが配置されている(ふちのところだけ、ひし形以外のタイルが現れているが、いまは無視しよう)。くり返しの単位、ユニットは存在しない。けれど、無秩序ではなく、あるルールに基づいて配置されている。どうやって作るのか。

まず、正五角形を用意しよう。対角線を引いて分割すると、2種類の二等辺三角形ができる。

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このふたつの三角形を、どんどん増殖させる。基本となるのは、次の操作である。

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step1の三角形A1とB1を並べていくと、step2のA2とB2を作ることができる。A2は、B1に、108°回転したA1をくっつけて作る。B2は、216°回転したB1に、左右反転したA2をくっつけて作る。この、裏返しの操作が入るところが、少しややこしい。

大切なのはstep2の輪郭である。A2は少し大きくなっているがA1と同じ形である。B2もB1と同じ形。ということは、A2とB2にさっきと同じ操作を加えることができる。

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A3は、B2に、108°回転したA2をくっつけて作る。B3は、216°回転したB2に、左右反転したA3をくっつけて作る。以下同様に、step5まで描くと次のようになる。

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無限に続けるわけにいかないので、次のA6でストップしよう。A6と上下反転させたA6をくっつけてみる。

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ここまで裏表を区別してきたが、裏表を同じ色にする。さらに、左端の点を中心に5回対称のコピーをつくってみる。具体的には72°回転したもの、144°回転したもの、216°回転したもの、288°回転したものとオリジナルの回転してないもの(0°回転)の5つをくっつける。

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ちょうどうまい具合に、三角形の辺がくっついて、ひし形ができている。境界線の一部を取り除くと、最初の図ができる。
# by j344 | 2013-02-24 01:08 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(1)

タイルを2種類以上使った模様の場合、どんな基準で縮尺を標準化すべきか。アルキメデスの平面充填を例に考えてみる。今回は、結論から図示しよう。

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どのようにして、この縮尺を選んだのか。注目しなければならないのは、くり返しの単位(ユニット)の面積である。まず、それぞれの模様の中から、そのくり返しの単位を見つけてみよう。

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ユニットの選び方は、必ずしも上の図の形に限らないのだが、たとえば、薄い赤色の図形をコピーして張り合わせて行けば、平面を隙間なく敷き詰められることが分かるだろう。このユニットの面積を揃えれば、縮尺が決まることになる。

いきなり面積を揃えるのは大変なので、先に辺の長さを1としたときの各ユニットの面積を求めてみよう。

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これから、面積を揃えた時の辺の長さを逆算する。面積は縮尺の2乗に比例するから、よく考えると、次のようになる。

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すなわち、この辺の長さが、求めようとしたところの縮尺であった。

じつは、これは「模様展示の標準化 その2」の(3)で、タイルの面積を揃えたことの自然な拡張になっている。正方格子、正三角形の格子、正六角形の格子のときには、タイル自身がユニットになっていた訳である。

なお、今回、ユニットの選び方として、ひとつの制限を設けていた。「平行移動だけで平面充填できるようなユニット」というのがそれである。この条件を緩めて、回転移動を構わないことにすると、#02のユニットは#01のユニットと同じ形にすることができる。そうすると縮尺の基準も変わってしまうのだが、どちらの基準がよいだろうか。

さて、今回はくり返し模様のとき、縮尺の基準をどう選ぶかの話だった。次回は、ペンローズタイルのように、模様がくり返さないときにどんな基準が考えられるか。それを検討してみたい。
# by j344 | 2013-02-17 23:00 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(1)

模様展示の縮尺を標準化したい。どんな基準が考えられるだろうか。正方格子以外に、正三角形の格子、正六角形の格子を使って考えてみる。

(1) 辺の長さを等しくする
まず辺の長さを揃えてみよう。各タイルサイズの比は次の通り。

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これを敷き詰めてみる。

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正六角形のタイルが大きすぎて、右端がスカスカになってしまうのが問題だ。もっと辺の数が多い正多角形、たとえば正12角形などを使い始めると、三角形とのサイズ差はさらに大きくなる。

模様の種類によって、模様の見易さが変わってしまうのがよくない。この方式は除外しておこう。

(2) 直径を等しくする
サイズ差が問題だったので、直径を揃えてみよう。タイルの直径とは、ひとつのタイルに含まれる2点間の距離の最大値(この場合、図の赤線部の長さ)である。

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これを敷き詰めてみる。

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印象の上でも(1)よりは統一感が出たのではないかと思う。しかし、よく考えてみると、この(2)の方式はタイルを2種類以上使った模様の場合には使えない。

(3) 面積を等しくする
タイル1枚の面積を揃えてみよう。

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これを敷き詰めてみる。

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理屈では、額縁におさまるタイルの枚数が同じ(25枚)になるはずである。(2)と比べると、六角形はより小さく、三角形はより大きくなっている。

25枚がよいのかどうかはともかく、この(3)の基準を縮尺標準化の本命として進めたいのだが、先ほど(2)で問題になった点、タイルを2種類以上使った模様の場合はどうだろうか。それを次回検討してみたい。
# by j344 | 2013-02-16 13:04 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

たとえば、幾何学模様大図鑑を構想するとき、何らかの基準による模様展示方法の標準化が必要になるだろう。模様を並べて見せるとき、基準がバラバラだと見づらいだけではなく、これとこれは同じ模様か、それとも違うのかなど、混乱の元になってくるからだ。

どういう基準でその標準化を考えるのか。ひとつの軸として、対称性が考えられる。もともとの模様が持っている対称性を、展示の仕方によって損なうようなことは、なるべく避けたいからだ。もうひとつの軸は、多種多様な模様に対する汎用性だ。頼りない道具立てだが、どこまで行けるか考えてみよう。

たとえば、正方格子を考えてみる。色を付ければ市松模様にもなるが、この際、着色や線の太さのことは無視しよう。どのようにディスプレイするか。自由度は4つある。(1)角度、(2)中心の位置、(3)額縁の形、(4)縮尺だ。

(1) 角度

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角度を変えるだけで、印象が違って見えるかもしれない。額縁を含めて考えると、このうち、右端のパターンだけは、標準化の候補から除外しておいた方がよいだろう。左のふたつに比べて、対称性が減ってしまうからだ(たとえば鏡像と自分自身を比べてみよう。左の二つは自分の鏡像と重ね合わせるとぴったり一致するのだが、右端のはそうならない)。

(2) 中心の位置

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中心の位置だけ変えてみた。これも右端のパターンだけ、対称性が低い(前項と同様、鏡像と重ならない)。標準化の候補から除外したい。

(3) 額縁の形

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角を丸くした額縁や、長方形の額縁、三角形の額縁、その他、任意の輪郭の額縁で模様をカットすることができる。三角形の額縁など奇抜すぎると思われるかもしれないが、選んだ模様が三角格子だったらどうだろう。対称性の観点からは、正方形の額縁より適していると考えることもできる。
しかし、多種多様な模様に対して、それぞれに最適な額縁を選んでいたのでは、模様展示の統一感が失われるだろう。ここは汎用性の観点も必要だ。配置した際の紙面や画面を有効利用するには、長方形。しかも、90度回転した際に対称性を失いにくいという利点から考えると、つまらない結論ではあるが、正方形の額縁がベターではないだろうか。

(4) 縮尺

縮尺については、模様のサンプルとして正方格子だけを考えていたのでは、充分な議論ができない。次回の記事では、この点を掘り下げてみたい。
# by j344 | 2013-02-13 23:49 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

世界のタイル博物館

出張で、やきものの街、常滑を訪ねることになった。INAXライブミュージアム『土・どろんこ館』の特設展「日本の白い壁―石灰がつくり出す多様な世界」の取材である。

取材先を調べて驚いた。なぜ模様好きの私に、こんな仕事が回ってくるのか。日ごろの行いが良いせいか。INAXライブミュージアム内にあるのは『土・どろんこ館』だけではなかった。装飾タイルの発展史を紹介する、日本で唯一のタイル博物館『世界のタイル博物館』が存在したのである。http://www1.lixil.co.jp/museum/



公私混同でしょうか。いいえ、天の配材です。と、金子みすゞのようなことをつぶやきながら迎えた2月6日(水)。雪の予報にもめげず、新幹線は名古屋まで走った。

同行者の都合だってある。『土・どろんこ館』の取材だけで退散する可能性もなくはなくて、そのときは覚悟しようと思っていたのだが、結局のところ覚悟せずに済んだ。INAXライブミュージアムのご厚意でその他の施設もご案内いただくことになったのである。『世界のタイル博物館』については、一般の写真撮影も自由ということなので、その折の写真を一部、ここに掲載する。

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平面充填のことを数学では、タイリングまたは、タイル張りと言ったりするのだけれど、それは模様好きの、タイルに対する勝手な思い入れに過ぎない。『世界のタイル博物館』の展示は、とうぜん模様を軸に編集されている訳ではなくて、文化史に主眼がある。あくまで物としてのタイルに即している。

けれど、初めて見る模様も多く、広報担当の方に解説を頂きながら、充実した時間を過ごすことができた。お土産に本を4冊も買ってしまった。

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ちなみに私が映り込んでいる写真は『土・どろんこ館』のトイレである。ここは模様のブログなので詳細は書かないけれど『世界のタイル博物館』以外の各館も貴重なコレクションが目白押しで、非常に興味深かった。建築・装飾・やきもの・土・トイレなどに興味のある方は、いちど訪ねられては如何だろうか。
# by j344 | 2013-02-11 15:00 | 紹介 | Comments(0)

歯車03

歯車模様のアニメーションをつくるとき、各歯車が同じところで回っているだけだと変化がない。

モーターを固定していたら、歯車が回るばかり。歯車を止めてみれば、モーターが回るはずだ。ということで作ってみたのが、次のアニメーション。

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実際には、この、円で示しているのが歯車なので、個々の歯車が回りながら、全体が回る感じになると思う。回転の中心の歯車だけが止まっている。

こんなふうに、回転の中心が移っていくアニメ。他に可能な歯車の初期配置はないだろうか。

ここまで紹介した中では、このブログの「歯車01」の項。(3)の配置が該当する。今回90°回転だったところを、120°回転にかえればいい。
# by j344 | 2013-01-03 20:29 | 動く壁紙 | Comments(1)

歯車02

アルキメデスタイリングをベースにして、どんな歯車の配置が可能か考えてみよう。

アルキメデスタイリングについては、さしあたりwikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%85%85%E5%A1%AB
「アルキメデスの平面充填」の項を参照してほしい。

アルキメデスタイリングは全部で8種類。アルキメデスタイリングに登場する正多角形は、正3角形,正4角形,正6角形,正8角形,正12角形の5種類。このうち奇数角形は正3角形だけだ。

正3角形を含まないアルキメデスタイリングは2種類。頂点を歯車(図では赤や青の円で示す)に置き換えると、

a0180787_164611.png


こんな感じの配置ができる。正3角形を含むものについては、このブログの「歯車01」の項で説明したように、間に別の歯車をかませればいい。

a0180787_16362392.png
a0180787_1643270.png


そうすると、こんなのができる。wikipediaの記号で書けば、

(9)  (4,6,12)
(10) (4,8,8)
(11) (3,3,3,3,6)
(12) (3,3,3,4,4)
(13) (3,3,4,3,4)
(14) (3,4,6,4)
(15) (3,6,3,6)
(16) (3,12,12)

に対応する。

さて、(11)をよく見ると、「歯車01」の(6)をところどころ歯抜けにするとできることが分かる。もっと歯抜けにしてみたらどうだろう。

a0180787_164416.png


こんな感じの配置ができた。もっと色々な配置が可能だけど、今回はここまで。
# by j344 | 2013-01-02 16:37 | 動く壁紙 | Comments(0)

歯車01

歯車模様のアニメーションを作りたいと思い立った。とりあえず、おはじきを並べてみる。

a0180787_14371363.png

このうち、(1)は、歯車にしたとき、回らない。なぜか。

a0180787_1438624.png

青が右回り。赤が左回りだとすると、緑の歯車はどちらにも回れない。

奇数個の歯車が輪っかになって繋がると、問題になるみたいだ。偶数ならいい。

歯車を少し小さくして、間に別の歯車をかませると、矛盾が解消する場合もある。

a0180787_14375520.png

(5)(6)がその例。

矛盾のない場合でも、たとえば(2)をベースに(7)が作れる。

(8)みたいな凝った配置の歯車も可能だ。

*****

たとえば、アルキメデスの平面充填*注1)をもとにして、①頂点を右回りの歯車に置き換え、②辺の中点を左回りの歯車に置き換える。すると、矛盾のない歯車模様ができそうだ。

これをきちんとアニメーションにするには、どうすればよいか。歯車の歯の本数の比率や、インボリュート曲線を、ええと。手では描くのが大変なので、準備に時間がかかります。とりあえず、アイデアのみメモ。

注1 アルキメデスの平面充填:正多角形のみでできていて、頂点形状が一様な平面タイリング。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%85%85%E5%A1%AB
# by j344 | 2012-12-29 01:48 | 動く壁紙 | Comments(1)

自己相似な壁紙の変形。相似な性質を維持したまま変形する。
# by j344 | 2012-06-29 17:07 | 忘備録 | Comments(0)

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# by j344 | 2011-12-18 22:27 | このブログについて | Comments(0)