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レプタイル その1

幾何学における未解決問題集

H.T. クロフト / シュプリンガー・フェアラーク東京


によれば、n-レプタイルとは、次の条件(*)をみたす平面領域Rのことである。

(*) Rに相似なタイルをn個使ってR自身をタイル張りできる。

自分の縮小コピーn個で自分自身を分割できる、と言い換えても構わない。レプタイル(rep-tile)というのは、数学者ソロモン・ゴロムの命名で、「レプ」は本によってreplicationだとかreplicatingだとかreplicaだとか書いてあって、よく分からないけれど、日本語だと「複製」というのが適当なところだろう。「(自己)複製タイル」という訳である。爬虫類(reptile)に語呂合わせしてあるらしい。模様とどんな関係があるのかは後で考えることにして、とりあえず例を並べてみよう。

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内角が直角の倍数のものばかり集めてみた。たとえば(2)は2-レプタイル。(3)は3-レプタイルである。(5)~(7)を見るとこのL字型は、4-レプタイルであると同時に、9-レプタイル、36-レプタイルでもある。この他にもレプタイルは沢山ある。

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(25)~(28)あたりになると、多角形ではなくなって、頂点の数が無限個必要である。素焼きのタイルで作ることは不可能だけど、数学的にはとくに問題ない。

レプタイルの例の収集には、wikipediaの記事の他、模様の世界のバイブル

Tilings and Patterns

Branko Gruenbaum / W H Freeman & Co

を参考にした。ちなみに、この本の中ではレプタイルではなくて、"k-similarity tiling"と呼ばれているみたいだ。

レプタイルについて調べる中で、尊敬する折り紙作家の前川淳さんの名前がヒットした。前川淳さんの折り紙設計が、レプタイルに影響を受けていたということが、今回、改めて分かった。思わず、すでに絶版の名著のコピーを国会図書館に頼んでしまった。

ビバ!おりがみ

前川 淳 / サンリオ


# by j344 | 2013-06-03 00:03 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

模様が主題ではないのですが、よい本を見つけたので、ご紹介。

ダイヤモンドはなぜ美しい? (シュプリンガー数学リーディングス)

砂田 利一 / 丸善出版



結晶格子の数学的側面に注目した、数学の本です。模様と何が関係するかというと、格子は模様の対称性の骨格みたいなものなので、けっこう模様のことを考える上でも大切になってくるのですね。くり返し模様の数学というと、とかく「対称性による17種類の分類があーだこーだ」という群論の話に終始することが多いのですが、この本は話の運び方と切り口が違います。対称性は大事なので、もちろんこの本でも、ちゃんと章をひとつ割いて、取り上げられてはいるのですが。

副題が「離散調和解析入門」なので、もともと別に模様が目的の本ではないのです。ちなみに、後半は『岩波講座応用数学 フラクタルの数理』の第4章で読んだ話に近いかな。かなり手加減してはありますが、やはり数学本。数学馴れしてないと、読み進めるのはちょっと大変かもしれません。

いい本を手に入れた楽しさではしゃいでしまいました。今日買ったばかりの斜め読みなので間違ってたらすみません。まずは必要なところを抑えよう。「幾何学模様大図鑑」の構想上、必要な個所は、いずれ、このブログでも参照して行きたいと思います。
# by j344 | 2013-05-31 23:08 | 紹介 | Comments(0)

立体交差02

立体交差01のところへ、もうひとつ網を重ねてみました。

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何がどうなっているのか、よく分かりません。
# by j344 | 2013-05-29 21:52 | 立体風 | Comments(1)

森口邦彦

伝統工芸の世界で幾何学模様が本当に好きな人はどのくらいいるのだろう。

いつだかポスターで見て知ったのだけど、人間国宝森口邦彦の作品は、眺めているとドキドキする。

たとえば、こんなのだ。「森口邦彦氏の主要作品

以上、ご紹介まで。
# by j344 | 2013-05-29 21:21 | 紹介 | Comments(0)

このブログについて

 このブログは幾何学模様のブログである。いくつか目的があるので、この辺りでまとめておきたい。

1 幾何学模様大図鑑の制作
 幾何学模様は、様々な場面で使われている。包装紙・ネクタイの柄・壁紙・敷石・マンホールの蓋の柄・伝統工芸などなど。けれど、模様フリークの私から見ると、月並みな柄が多くてがっかりすることが多い。模様デザイナーの方々には、ぜひ長い人類史の蓄積を踏まえての創作をお願いしたいのだけれど、整理が難しいのだろう。あいにく、納得の行く本やデータベースにはお目にかかったことがない。
 ないのなら誰かが作るしかない、ということで、勉強不足も力不足も棚に上げてしまった。このブログの目的のひとつは、幾何学模様大図鑑の制作である(ちなみに、よい本があったらぜひご教授下さい)。

2 模様の数理にまつわる情報交換
 かつて数学専攻だったサラリーマンとしては、模様の数理について勉強したい気持ちもないわけではない。模様や図形の分割には、数学的に未解明な問題が多く存在する。その割に理解しやすいものもあって、問題によっては素人が貢献できる余地もあるのではないだろうか。
 とはいえ、素人には限界もある。かならずしも「1 幾何学模様大図鑑の制作」に奉仕しなくても構わないので、模様の数理の情報提供、お待ちしております。当方も面白そうなのがあったら紹介したいと思います。

3 模様の知覚における転換現象の研究
 模様をじっと見ていると、くり返しの単位がどこまでなのかが、変化することがある。たとえば「七宝繋ぎ」を見ていて、円が重なっているようにも見えるし、まるで「青海波」のように、重なりのない形が繰り返しているようにも思うことができる。模様はそういう多様な解釈を許している。動く模様を見ていても、途中のコマから別のアニメーションに分岐できるなあと気づくことがある。これも多様な解釈のひとつだろう。これらの多様な解釈は、模様を見るときの楽しみにとって、重要な役割を果たしているように思われる。 
 別のブログ「みずすましの哲学ノート」の中心テーマはこの「解釈が変わること」そのもの。哲学者ウィトゲンシュタインがアスペクト転換と呼んだ現象である。幾何学模様には、自然に解釈の多様性(解釈の曖昧性)が孕まれている。転換の種を宿している。当ブログでは、やれ知覚だ認知科学だと、正面切って取り上げることはあまりないと思うけれど、そんな転換の種をたくさん集めることも、このブログの目的のひとつに数えたい。

 その他、何かあったかな。また思いついたら書きます。
# by j344 | 2013-05-27 22:04 | このブログについて | Comments(1)

立体交差01

アラベスクもどきの、立体交差。

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じつは、もうひとつ網を重ねることができます。
# by j344 | 2013-05-27 20:31 | 立体風 | Comments(0)

animation gear01

動く歯車模様。ようやくひとつ完成しました。

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# by j344 | 2013-05-26 23:08 | 動く壁紙 | Comments(0)

歯車04

回転する歯車のアニメーションです。歯車01~03のような模様にするのは少し骨が折れますが、とりあえず回る歯車を作れたので、更新。

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応用はしばらくお待ちください。
# by j344 | 2013-05-25 10:15 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation conveyor4

おなじみgifアニメです。今回は地味です。

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今日のところは、これで勘弁してください。
# by j344 | 2013-05-22 21:55 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation cross 02

animation cross 01」のgifアニメ。後半のコマをカットすると、こんな風になります。

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逆に、前半のコマをカットすると、こんな感じ。

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ご紹介した戸村浩さんの本『基本形態の構造』では、アニメの元ネタは写真でした。おそらく手で持って遊べる、おもちゃになっていたのですが、どうも今回のアニメをおもちゃにするのは難しそうですね。
# by j344 | 2013-05-21 22:19 | 動く壁紙 | Comments(0)

動く平面文様「Tile Magic シリーズ」をご紹介します。

タイルマジック 1
タイルマジック 2
タイルマジック 3
タイルマジック 4
タイルマジック 5
タイルマジック 6
タイルマジック 7
タイルマジック 8

このホームページ「幾何学おもちゃの世界」。最近調べ物をしていて辿り着き、ずっと以前拝見したことがあったのを思い出しました。変形する幾何学模様のいくつかは、こんな風に機構を使って実現可能なようです。
# by j344 | 2013-05-21 21:24 | 紹介 | Comments(0)

animation cross 01

本日のgifアニメは、戸村浩さんの本を基にしました。

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基本形態の構造―立方体はブドウ酒の味がする (1974年)

戸村 浩 / 美術出版社



P89「もし動きだしたら」の写真が元ネタになっています。
# by j344 | 2013-05-20 23:43 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation kaleidoscope 02 (p6m)

万華鏡風のgifアニメです。

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テストの「万華鏡Ⅱ」が基になっています。今回は底面の形が、正三角形を半分にした形(これも三角定規の形ですね)になるように、鏡を張り合わせたと思ってください。線分の回転軸が底面の重心なのは、animation kaleidoscope 01 (p4m)と同じです。

今回のアニメもanimation kaleidoscope 01 (p4m)も、形が現れたり消えたりして、何だか騙されたような気がします。これは、ゲシュタルト心理学で言うところのプレグナンツの法則によってできた形が、次々切り替わっていくからだと思います。
# by j344 | 2013-05-19 20:04 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation vortex4

またgifアニメを作りました。テスト5の「巻き込み4」です。

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# by j344 | 2013-05-18 21:39 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation 7cube2

昨日に引き続き、昔のサイトのgifアニメでお茶を濁します。

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昨日のアニメによく似ています。
これは立体? それとも、六角形の板が滑っているだけ?

どちらとも取れますが、立体だと思って遠近をつけると、こんな感じになります。

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もうひとつ。こんな風に動いているんだという解釈もできます。

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解釈の仕方、他にもいろいろあるかもしれません。
# by j344 | 2013-05-15 21:31 | 立体風 | Comments(0)

animation 7cube1

模様からは少し離れますが、昔のサイトから、gifアニメを転載します。

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これは立体? それとも、六角形の板が滑っているだけ?





どちらとも取れますが、立体だと思って遠近をつけると、こんな感じになります。

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頭の中でイメージできました?
# by j344 | 2013-05-14 23:00 | 立体風 | Comments(1)

animation blind3

今回はテスト7を基に作りました。だんだんタイトルに悩み始めています。

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# by j344 | 2013-05-12 14:58 | 動く壁紙 | Comments(1)

animation spring6

閉じたり開いたりしていたvortex6の後半を削除すると、拡がりっぱなしになりました。

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この"spring"は「春」でも「バネ」でもなくて「泉」のつもりです。

ちなみに縮みっぱなしバージョンは、こちら。

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いまは適当に名前を付けているだけなのですが、これらの模様アニメについてもそのうち分類整理の仕方を考えなければなあと思っています。
# by j344 | 2013-05-10 20:36 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation kaleidoscope 01 (p4m)

万華鏡風のgifアニメを作ってみました。ふつうの万華鏡は、長方形の鏡を底面が正三角形になるように張り合わせて作ります(正三角柱)。一方、底面の形を、三角定規でおなじみの直角二等辺三角形にしても、万華鏡を作ることができます。たとえば、その直角二等辺三角形の重心を通る線分を回転させたとき、万華鏡に映るパターンはどう変化するでしょうか。

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こんな風になりました。原形は以前の記事「テスト」にありますので、ご参照ください。
# by j344 | 2013-05-08 23:39 | 動く壁紙 | Comments(0)

interlocked cubes

どこかで見たことがあるような気がする、立体風の模様。

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だまし絵のようにも見えますが、とくに矛盾なく3次元空間内で実現できると思います。
# by j344 | 2013-05-07 23:44 | 立体風 | Comments(0)