「ほっ」と。キャンペーン

先日の記事、MINEさんのブログ PUZZLE of MINE でご紹介頂きました。
こちらの記事「Both Sides Now」をご参照ください。

(1) スライドシェアで公開中の私のスライドの中で「MINEさんの方法」
  と書いたのが、どんな方法だったのか知ることができます。

(2) 詳細な経緯、いくつかの先駆的な検討について知ることができます。
   なお、Inside-Out,Outside-Inは単なる裁ち合せの問題ではなく、
   パズルとして非常に洗練されたものです。

(3) そして、ブログの他の記事を読めば、
   奥深いパズルの世界へと羽ばたくことができます。

まだ裁ち合わせについてはスタートラインに立ったばかりの私ですが、
交流の中で、今後も様々、取り組んで行きたいと考えております。

# by j344 | 2014-02-11 23:19 | パズル | Comments(0)

昨年の夏頃パズル懇話会(Academy of Recreational Mathematics, Japan)に入会。先日、その例会で初めて発表した。

内容は、裁ち合わせ(Geometric Dissection)に関するもの。発表で使ったスライドを、Web用に改造し、下記で公開しているので、ご参照いただきたい。
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この発表は、MINEさん(ブログ:PUZZLE of MINE)のご支援なくしては、成り立たなかった。大半の結果はMINEさんのものである。私は、Both Sides Now シリーズの発案の部分を担当。いくつかの最少ピース解の記録を作れたのが自負できる部分である。もちろん、これが最少である保証はないので、記録更新できた方は、ぜひ知らせて頂きたい。

多角形の裁ち合わせについては「面積の等しい多角形同士は、裁ち合わせ可能」という、ボヤイ・ゲルヴィンの定理というのが知られている。このため、個別の図形について設問するときには「ピース数をなるべく少なくする」「対称性に条件をつける」など、何らかの制約をする必要がある。

裁ち合わせには今回、初めて取り組んだのだが、難しすぎず簡単すぎず、ちょうどよい手ごたえだった。裁ち合わせは、Dissection Tilingなどに見られるように、模様とも関係が深い。遊びのルールのコンセプト作りや、その形固有の性質の発掘。まだまだフロンティアがありそうだ。今後もさらに遊んでみたい。

最後の方のスライド。アニメーションだけ、slideshareではお見せできなかったので、ここで補っておこう。
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このアニメの元ネタは、裁ち合わせのバイブルとして知られる、フレデリクソンの本のp264.

Hinged Dissections: Swinging and Twisting

Greg N. Frederickson / Cambridge University Press


バイブルはあと何冊かあるので、ここで紹介しておこう。

Dissections: Plane and Fancy

Greg N. Frederickson / Cambridge University Press


Recreational Problems in Geometric Dissections and How to Solve Them

Harry Lindgren / Dover Pubns


# by j344 | 2014-02-08 15:56 | パズル | Comments(0)

animation wave5

こりずにgifアニメです。三角波四角波に引き続き、五角波。
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どこで一時停止しても周期的な模様ではありません。五回対称の中心はひとつ(正方形の中心)だけです。……少し格子を粗くとりすぎてしまったかもしれません。

# by j344 | 2013-12-07 20:46 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation wave4

gifアニメです。前回のwave3三角波と呼ぶなら、今回のは四角波と言うべきでしょうか。
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でも、あまり波っぽくありません。何かの機械の動きみたい。


# by j344 | 2013-12-07 14:44 | 動く壁紙 | Comments(0)

animation wave3

gifアニメです。三角格子の各平行線をスライドさせてみたのですが、投石した池の波紋のように見えたのでこの名前にしました。
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ずっと見ていると、いろんな風に見えてきます。正三角形が拡大しているように見えたかと思うと、菱形の群れの行進が見えたりもする。縮み行く正三角形が見えるかと思うと、正方形の中心以外のところが中心に見えることもあります。

# by j344 | 2013-12-04 23:02 | 動く壁紙 | Comments(2)

前々回の記事「高木曲面(2変数版の高木関数)」で、アルキメデスが高木関数に似た方法で放物線を作ったと書いた。放物線ではなく、回転放物面を作るにはどうしたらよいだろうか。

前々回の構成を真似て、次のようなピラミッドの列を考えてみる。左のグラフと真ん中のグラフ、高さを足すと右のグラフができる。
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この各ステップを順番に積み重ねていく。
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と、こんな感じになって、どうやら右のグラフは回転放物面に収束しそうである。左のグラフと真ん中のグラフは、どちらもピラミッドを積み重ねて作っただけあってよく似ている。たとえば、左のグラフを3Dプリンターで作っておく。真ん中のグラフをピンプレッションで作っておいて、ふたつを重ねると回転放物面ができる。そんなおもちゃを作ることが可能かもしれない。

参考まで、回転放物面 z=0.5-(x-0.5)^2-(y-0.5)^2 のグラフを描いておく。

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本当に回転放物面に収束するかどうかだが、実際、アルキメデスの結果から、正方形[0,1]×[0,1]の対角線のところと輪郭のところに現れる曲線は放物線であることがすぐに分かる。他がちゃんと上手く行っていることを証明するにはどうすればよいだろう。

ところで、前々回の高木関数2変数版。あれはちゃんとした拡張だったのだろうか。放物線と高木関数のアナロジーで考えると、回転放物面に対応するのは、次のグラフの方が適切かもしれない。
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世の中には、同じようなことを考える人がいるもので。これはYoshiaki Arakiさんに教えて頂いた、mont Takagiというのと、たぶん同じ関数だと思う。

# by j344 | 2013-12-02 23:16 | 数学 | Comments(1)

動く壁紙シリーズのいくつかは、画面が切り替わるときのエフェクトに使えます。例をひとつgifアニメで作ってみました。
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本当は復路もアニメにしたかったのですが、手作業ゆえ力尽きました。なお、原画は妻に描いてもらったものです。


# by j344 | 2013-12-01 23:35 | 動く壁紙 | Comments(0)

模様からの脱線ついでに、もうひとつ数学風の話題。前回の記事でも参照した、高木関数。これの二変数版を考えてみる。どうなるか。とりあえずの回答が、次のアニメである。

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高木関数のことを高木曲線ということもあるようなので、これは高木曲面というべきだろうか。ツールはExcelのグラフ機能を使った。

どう作ったか。まず次のようなピラミッドを用意する。右は等高線である。
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おろし金のようになってきた。この各ステップを順番に積み重ねていくと、だんだんデコボコしてくる。
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まるで地獄の針の山のようだ。高木関数と同じで「連続だが至る所で微分不可能な関数」になるのだろう。いつか3Dプリンターで、高木曲面オブジェを作ってみたい。

最初のピラミッドの高さについては、正方形の一辺を1として、高さ1/2となる設定で作ったが、正八面体の半分のサイズのピラミッド(高さは1/√2)の方がいいかもしれない。正方形の対角線を通る断面(正方形に垂直な断面)で切ったときにちゃんと高木関数が現れる。アルキメデスは高木関数に似た方法で放物線を作ったが、これで同じことをするとどんな曲面ができるだろうか。

ところで。今回はピラミッドから始めたのだが、次のように考えても面白いかもしれない。フラクタル日よけとしても有名な、シェルピンスキーの四面体。これを作るには、正四面体から正八面体をくり抜く操作を繰り返す。いちどくり抜くと正四面体が4つできる。それぞれの正四面体からまた小さな正八面体をくり抜く。そうすると正四面体が16個できる。どのステップのスポンジも、ある方向から見ると、穴がないように見える(正四面体は正方形に見える)。この、各ステップのスポンジを平面に降り積もらせれば、先ほどのおろし金ができる。
# by j344 | 2013-11-25 23:28 | 数学 | Comments(1)

模様の話から少し外れる。数学の話。苦手な方は読み飛ばして頂いて構いません。

格子からみえる数学

枡田幹也 / 日本評論社


を読んでいると、見覚えのある数列が出てきた。基本三角形との関連で紹介されている、スターンの二原子数列。高校時代に有名なフラクタル図形、シェルピンスキーのギャスケットのことを調べていて、同じ数列に出くわしたことがあるのだ。基本三角形は、基本平行四辺形の半分なので、こじつければ模様と無関係ではないかもしれないのだが。

『格子からみえる数学』とは違う方法で、このスターンの二原子数列を構成してみよう。パスカルの三角形から始める。

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いつも見るのと違うかもしれないけれど、左端を揃えてあるだけで中身は変わらない。中の数はどれも、左上の数と真上の数の和になっている。

よく知られている事実だが、パスカルの三角形からフィボナッチ数列を作ることができる。
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こんな感じにパスカルの三角形の斜めのところを足し算すればよい。赤い数字の列を縦に読めば、前二項の和が次の項になっていることが確認できるだろう。

ところで、パスカルの三角形を2で割った余りを並べてみると、次のようになる。
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これも有名な事実だが、これをずっと続けていくと、シェルピンスキーのギャスケットができる。
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ここで、先ほどフィボナッチ数列を作ったときと同じように、斜めのところを足し算すると、どんな数列が現れるだろうか。
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赤い数字。縦に読むと、増えたり減ったりしている、変な数列だ。これがスターンの二原子数列である。

このスターンの二原子数列には、次の奇妙な漸化式が知られている。
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じつは、この漸化式だけからでもスターンの二原子数列を生成することができる(きちんと定義できているか不安な方は、次のように考えればよい。任意のインデックスnは偶数か奇数かのいずれかである。この漸化式を繰り返し使えば、インデックスをどんどん小さくしていくことができて、どんなnからスタートしても、有限回のステップでa1にたどりつく)。

さて。先ほどのパスカルの三角形からの構成と、この漸化式からの構成。同値であることを証明するにはどうしたらいいだろう。ここに答えは書かないので、興味のある方は考えてみてほしい。

この数列の母関数を考えてみても面白い。
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と定義する。先の漸化式を上手く使うと(|x|<1なら)、
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たぶん、こんな感じに変形できるはずだ(きちんと証明していないので違っていたらすみません)。

スターンの二原子数列はファレイ数列の分子にも現れる。『格子からみえる数学』でも、基本三角形に関係するのは、じつはファレイ数列の方だ。フォードの円とも関係がある。ファレイ数列は『数学セミナー2013年12月号』に掲載の寺澤順「有理数をカウントする数式」という記事でも紹介されていた。

ちなみに、なぜ、この数列に興味を持つに至ったかについては、高木関数に似たものを、シェルピンスキーのギャスケットから作るとどうなるのかなあと考えて、三角形の数を数えるときに必要になったからであった。この試み自体はたいして面白い結果にはならなかったのだが、好きな数列ができてよかった。流行ると面白いなあと思う。
# by j344 | 2013-11-24 00:38 | 数学 | Comments(2)

animation dumbbell (p4g)

久々のgifアニメ。ほとんどのコマは、紗綾型と同じp4gの対称性を持っている。
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名前はダンベルとしてみたが、お餅をちぎるみたいな動き。柔らかそうな気がする。

もうひとつ追加しておこう。よく似ているけれど、左右反転したものを挟んでみた。
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# by j344 | 2013-09-28 21:16 | 動く壁紙 | Comments(0)

三谷純さんの立体折り紙

折り紙テセレーション」の項でもふれた三谷純さん。もともとペーパー・クラフトの世界で有名な方で、折り紙でも立体作品の本を出されている。

ふしぎな 球体・立体折り紙

三谷 純 / 二見書房



立体ふしぎ折り紙

三谷 純 / 二見書房


次の写真は、これらの本の作品にチャレンジしてみた結果である。
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下手で恐縮だが、左上から右へ順番に、
『立体ふしぎ折り紙』「No.19 3枚羽の3段風車」
『立体ふしぎ折り紙』「No.05 楕円球ラッピング」
『立体ふしぎ折り紙』「No.16 キャンディ」
『ふしぎな 球体・立体折り紙』「No.20 球体ラッピング8枚羽根」
『ふしぎな 球体・立体折り紙』「No.16 半球ギフトボックス8枚羽根」
『立体ふしぎ折り紙』「No.14 6角ホイップ」という作品。

曲線を含んだ作品は、折るときに手加減が必要なのかしらと憶測していたのだが、実際折ってみると、ほとんど曖昧さがない。きちんと形が決まるところが快感だった。

いちど折って折り目がしっかりしていると「しぼり」を開け閉めするのは簡単で、ふつうに包装に使えそうだ。昔、菓子の営業をしていた妻にも好評であった。

このブログの主題である、模様との関係はともかく、幾何学には大いに関係がある。三谷さんの専門はコンピュータ・グラフィクスであり、折り紙もコンピュータで設計されているそうだ。

先日開催された、第19回折紙探偵団コンベンション。残念ながら、講習会には参加できなかったのだが、三谷さんは「6つの風車」という折り紙作品の講習をされたとのこと。ブログに展開図が紹介されていたので折ってみた。
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難易度は本に掲載されている作品群よりも高いような気はするが、これはプリンタがあればチャレンジできる。興味のある方は、ぜひ。
# by j344 | 2013-09-01 16:29 | 折り紙 | Comments(2)

まだこのブログで紹介していない対称性。残りのpmg、pgg、pg、p2、p1について、例を列挙してみよう。番号は「模様展示の標準化 その7」と同じく、ストラックアウト方式でつけておく。

1 2 3
4 5 6
7 8 9

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pmgの格子は長方形格子。上下対称の他に「すべり鏡映」という対称性を持っている。更に点対称でもある(図の中心が回転の中心でないことに注意)。左右対称ではないのだが、たとえば、pmg-1のひとつのタイルに注目すると、それを左右反転したタイルが敷き詰めの中に含まれている(「模様展示の標準化 その7」と同様、ここで上下や左右と呼んでいる方向が、展示する向きの標準化に依存する点には注意して欲しい)。

pmg-6は『新刺し子』p34を参考にした。pmg-7は伝統文様の「矢絣」を変形・脱色したもの。pmg-9は『伏見康治コレクション第1巻 紋様の科学』p110の「流水」を変形・脱色したものである。

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pggも長方形格子。上下対称でも左右対称でもないが、すべり鏡映の対称性を持っている。また、点対称の性質も併せ持っている。

pmg-1は「桧垣」もしくは「網代」と呼ばれることが多い伝統文様である。pmg-8は、wikipedia「空間充填」の項の図である。pmg-9は「tilings and patterns」p31の図から作成した。


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pgも長方形格子。上下対称でも左右対称でもないが、すべり鏡映の対称性を持っている。pggとの違いは、点対称性がないことである。

pg-4は、中村義作(1980)「コンクリートの美学 ブロック舗装,タイル張りなどによる造形手法の追求」からの引用。pg-7は、泡坂妻夫『家紋の話』p301にある創作文様で「徳利網代」という名前がついている。


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p2の格子は斜方格子(平行四辺形の格子)。点対称の模様である。

p2-2は立方体の展開図。p2-8とp2-9は正八面体の展開図である。


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p1も斜方格子。平行移動によるくり返し(並進対称性)以外の対称性を持たない模様である。

p1-7は、5種類のテトロミノによる平面充填(テトロミノとは4つの正方形を辺に沿ってつなげた形。コンピューターゲームのテトリスで有名である)。p1-8とp1-9は4種類のペンタモンドによる平面充填である(ペンタモンドは5つの正三角形を辺に沿ってつなげた形のことである)。
# by j344 | 2013-08-16 08:53 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

平面の繰り返しパターンを対称性で分類すると17種類。まだこのブログで例を挙げていないものを列挙していこう。縮尺は「模様展示の標準化 その6」で述べた方法で標準化する。

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個々の模様を指すのに番号をつけておこう。図の上段左から、pmm-1,pmm-2,pmm-3.中段も左からpmm-4,pmm-5,pmm-6.下段、左からpmm-7,pmm-8,pmm-9とする。つまり、ストラックアウト(的抜き)みたいな並べ方だ。

1 2 3
4 5 6
7 8 9

pmmの格子は長方格子。左右対称、かつ上下対称の模様である。このうち、pmm-1,pmm-2は、うまく膨らましてやると「模様展示の標準化 その5」で紹介したp4mという分類の模様になる。

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pmも長方格子。pmmと比べると対称性がひとつ減る。左右対称性はあるが、上下は対称ではない模様である(という言い方は、向きの標準化に依存するのだが)。

pmmと同様のナンバリングをする(以下同様)。pm-3は「千鳥格子(hound tooth)」を脱色したもの。pm-5は、中村義作(1980)「コンクリートの美学 ブロック舗装,タイル張りなどによる造形手法の追求」『セメント・コンクリート (通号 398) 1980-04』p15にある模様である。

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cmmも左右対称かつ上下対称である。ただし、格子がpmmと異なる。cmmの格子は、面心長方格子(またの名を菱形格子)という。

cmm-1は『伏見康治コレクション第1巻 紋様の科学』p100によれば「れんがづみ」。cmmには、日本の伝統文様が沢山含まれる。cmm-2は「松皮菱」、cmm-3は「網目」、cmm-5は「立湧」という(寝かせてしまったけれど)。cmm-6は以前にも紹介したアルキメデスの平面充填形のひとつである。cmm-7は、ええと。アルハンブラ宮殿のタイルを脱色したものだったかな。

cmmの仲間にも、うまく膨らますとp4mになるものがあるのだが、今回は採集し忘れた。

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cmはcmmと同じく面心長方格子。左右対称だが上下対称ではない。

cm-7は伝統文様の「青海波」。cm-8は、何だったか。たしか異国の模様だ。cm-9はふたたび、中村義作(1980)「コンクリートの美学 ブロック舗装,タイル張りなどによる造形手法の追求」からの借用である。

今回は、ここまで。あとは、pmg、pgg、pg、p2、p1の5つである。
# by j344 | 2013-08-11 00:19 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

折り紙ずらし 01

折り紙の折り目を、少しづつずらしてみました。

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いまのところ模様とは関係なさそうに見えるのですが、
さて、折り紙テセレーションで同じような変形を行うとどんなイメージになるでしょう?
# by j344 | 2013-08-05 23:13 | 折り紙 | Comments(0)

折り紙テセレーション

「折り紙は,2次元半(フラクタル次元とは異なる意味で)の世界であると言えるだろう」
前川淳(日本図学会編『美の図学』「平面から立体へ―折り紙による造形―」より引用)。

折り紙の作品は3次元ものが多いけれど、(厚みを無視すれば)平面に収まる作品もあって、折り紙テセレーションもそのひとつ。くり返し模様を折り紙で作るのです。

先日折り紙の研究集会でお会いした、三谷純さんの『折り紙研究ノート』「平織り(Tessellation)」の項に解説があります。そこでも紹介されていますが、Flickr上のOrigami Tessellationsのグループを覗くと色んな作品を見ることができます。

ふつうの幾何学模様より縛りが強い訳ですが、折り紙テセレーションの世界、初めて見るようなパターンも沢山あって、模様好きの目にも新鮮です。本だと洋書になってしまうけど、この辺りでしょうか。

Origami Tessellations: Awe-Inspiring Geometric Designs

Eric Gjerde / A K Peters/CRC Press



Shadowfolds: Surprisingly Easy-to-Make Geometric Designs in Fabric

Jeffrey Rutzky / Kodansha Amer Inc


# by j344 | 2013-07-07 22:08 | 折り紙 | Comments(1)

animation slide hexagram

gifアニメです。hexagramは六芒星のことです。

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原形は以前の記事「テスト2」ですね。

途中のコマを省くと、別のアニメを作ることもできます。

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カメラのシャッターみたいにも見えます。
# by j344 | 2013-06-25 21:05 | 動く壁紙 | Comments(1)

animation octagon 01

久々のgifアニメです。地味です。

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対称性の変化については、戸村浩さんの本などに、似たパターンのものがいくつかあります。このアニメの特徴は、周期がそれらより短いところでしょうか。
# by j344 | 2013-06-23 23:52 | 動く壁紙 | Comments(0)

調べ物をしていて、面白いページを見つけた。「数学実験室(いろいろな機構のページ)」である。とくに、パンタグラフが面白い。

すっかり忘れていたが、このブログのタイトルがなぜ「図工ノート」かというと、いつか工作にも手出しをしようとしていたからであった。過去の紹介記事「Akira Nishiharaさんの「幾何学おもちゃの世界」から」や、ずっと以前書いた、「テーマ一覧」という記事にもあるように、動く壁紙はものによってはメカ(機構)で表現可能である。その、メカ化のヒントとして使えるかもしれない。
# by j344 | 2013-06-12 21:19 | 紹介 | Comments(0)

縮尺の標準化について、話が途中であった。以前「模様展示の標準化 その5」で格子の面積というような話をした。格子とその面積について、エッシャーのペガサスを例に考えてみよう。まず、ペガサスの輪郭の模写を示す。

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対称性p1に分類される模様である(着色は無視することにする)。それぞれのペガサスの体の部位で同じ個所、どこでもいいのだが、たとえば耳に注目する。

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模様の周期性が少しだけ分かりやすくなる。もう少しくり返して、赤丸だけ抜き出せば、こんな感じである。

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この赤丸を格子点と呼ぶことにしよう。ここで、くり返しの単位として、複雑なペガサスではなく、単純な形(基本平行四辺形)を選びたいのだけれど、じつはいろんな選び方が存在する。基本平行四辺形(さしあたり、格子点を頂点に持ち、内部や辺上には格子点を持たないような平行四辺形のことと思っておこう)は、たくさんある。

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正方形以外については、わざと変な選び方をしたように見えるかもしれないけれど、一般の模様で考えるとそうでもない。どれがスタンダードな格子か、なかなか決めづらいのである。

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たとえば、上のタイルを並べてみよう。

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どれも並べていくうちに、ペガサスの姿が現れてくる。それぞれ、くりかえしの単位として問題なく使えてしまうのであった。基本平行四辺形は「基本」のくせにひと通りではなくて困ってしまうのだが、じつは面積については、よく調べるといい性質を持っていることが分かる。

ダイヤモンドはなぜ美しい? (シュプリンガー数学リーディングス)

砂田 利一 / 丸善出版



この本のp33に「与えられた格子軍の基本平行四辺形の面積は、その取り方に依存せず一定である」という定理とその証明が載っている。有難いことに、我々の求める縮尺の標準化には、選び方は関係ないのであった。ともかく、どれでもいいので基本平行四辺形を選んでやって、その面積を標準化(たとえば1に)してしまえばいい訳である。

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平行四辺形の面積は上図の場合、S=|ad-bc|で計算できる(どこかで見たような式だけど、実際に行列式とちょっと関係がある)。

さて、標準化の話、面積については、これにて一件落着。なのだが、前回危惧した通り、六角格子(正三角格子)について、縮尺を修正する必要が出てきた。面倒臭いがそのうち遡って修正して行こうと思う。

展示の標準化については、角度の標準化の話がまだ片付いていない。模様の例は豊富な方がよいと思うので、ただいま作りためております。しばらくお待ちください。
# by j344 | 2013-06-09 23:03 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

レプタイル その2

さて、前回の「レプタイル その1」でご紹介したレプタイル。模様と何の関係があるのかが保留のままだった。次の図のような反復操作が行うと、平面敷き詰めと関係のあることが見えてくると思う。

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これは「ペンローズタイルの作り方」でもご紹介した、置換規則(substitution rule)による、模様の構成法である。いまは操作を繰り返すたび、ひとつひとつのタイルがどんどん小さくなって行くけれど、操作の都度拡大してやれば、どんどん平面を埋めていくことになる(基準の点をどこに選ぶかが平面充填のときにはちょっと問題になるけれど)。

ところで、ここまでご紹介してきたレプタイルは、どれも、縮小コピーのサイズが等しかった(互いに合同だった)。つまり、n-レプタイルが元のタイルをn等分していた。定義上は、自分の縮小コピー同士のサイズが違っていても構わないのではないかしら、と思うのだが(何か慣習でもあるのだろうか。不思議とそういうのをレプタイルと呼んでいるのは見たことがないのだが)、等分しないような例も色々と挙げることができる。

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(1)~(4)は正方形の正方形による分割。等分になるときもあるが、6以上なら任意の個数に分割できる。(5)のような分割は任意の直角三角形で可能である。(6)は「正方形をサイズがすべて異なる小正方形に分割せよ」というルジンの問題の、duijvestijnによる最少個数の解。(7)はコッホ雪片というフラクタル図形である。どれも輪郭線と中のタイルが同じ形になっている。

最後の(8)はアムマンのタイルという奴で、ちょっと変則的な置換規則を使うと、サイズの異なる2種類のタイルによる"非周期的な"平面敷き詰めを構成できる。置換規則は次のようなパターンだが、ご理解いただけるだろうか。

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ちなみに、アムマンのタイル張りについては、数学セミナー2012年2月号の秋山茂樹さんの記事「準結晶の数学的モデル」を参考にした。同じく秋山茂樹さんの"A NOTE ON APERIODIC AMMANN TILES"も参考になる、と思うのだけれど、ちゃんと読んでいません。あしからずご了承ください。

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6月6日、追記。英語を読まないのは悪いくせだ。wikipediaによれば、等分ではないタイプのレプタイルは、"irregular rep-tile"または"irreptile"と呼ばれているようだ。ここに色々な例があるのを見つけた。
# by j344 | 2013-06-03 23:01 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)