animation slide hexagram

gifアニメです。hexagramは六芒星のことです。

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原形は以前の記事「テスト2」ですね。

途中のコマを省くと、別のアニメを作ることもできます。

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カメラのシャッターみたいにも見えます。
by j344 | 2013-06-25 21:05 | 動く壁紙 | Comments(1)

animation octagon 01

久々のgifアニメです。地味です。

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対称性の変化については、戸村浩さんの本などに、似たパターンのものがいくつかあります。このアニメの特徴は、周期がそれらより短いところでしょうか。
by j344 | 2013-06-23 23:52 | 動く壁紙 | Comments(0)

調べ物をしていて、面白いページを見つけた。「数学実験室(いろいろな機構のページ)」である。とくに、パンタグラフが面白い。

すっかり忘れていたが、このブログのタイトルがなぜ「図工ノート」かというと、いつか工作にも手出しをしようとしていたからであった。過去の紹介記事「Akira Nishiharaさんの「幾何学おもちゃの世界」から」や、ずっと以前書いた、「テーマ一覧」という記事にもあるように、動く壁紙はものによってはメカ(機構)で表現可能である。その、メカ化のヒントとして使えるかもしれない。
by j344 | 2013-06-12 21:19 | 紹介 | Comments(0)

縮尺の標準化について、話が途中であった。以前「模様展示の標準化 その5」で格子の面積というような話をした。格子とその面積について、エッシャーのペガサスを例に考えてみよう。まず、ペガサスの輪郭の模写を示す。

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対称性p1に分類される模様である(着色は無視することにする)。それぞれのペガサスの体の部位で同じ個所、どこでもいいのだが、たとえば耳に注目する。

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模様の周期性が少しだけ分かりやすくなる。もう少しくり返して、赤丸だけ抜き出せば、こんな感じである。

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この赤丸を格子点と呼ぶことにしよう。ここで、くり返しの単位として、複雑なペガサスではなく、単純な形(基本平行四辺形)を選びたいのだけれど、じつはいろんな選び方が存在する。基本平行四辺形(さしあたり、格子点を頂点に持ち、内部や辺上には格子点を持たないような平行四辺形のことと思っておこう)は、たくさんある。

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正方形以外については、わざと変な選び方をしたように見えるかもしれないけれど、一般の模様で考えるとそうでもない。どれがスタンダードな格子か、なかなか決めづらいのである。

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たとえば、上のタイルを並べてみよう。

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どれも並べていくうちに、ペガサスの姿が現れてくる。それぞれ、くりかえしの単位として問題なく使えてしまうのであった。基本平行四辺形は「基本」のくせにひと通りではなくて困ってしまうのだが、じつは面積については、よく調べるといい性質を持っていることが分かる。

ダイヤモンドはなぜ美しい? (シュプリンガー数学リーディングス)

砂田 利一 / 丸善出版



この本のp33に「与えられた格子軍の基本平行四辺形の面積は、その取り方に依存せず一定である」という定理とその証明が載っている。有難いことに、我々の求める縮尺の標準化には、選び方は関係ないのであった。ともかく、どれでもいいので基本平行四辺形を選んでやって、その面積を標準化(たとえば1に)してしまえばいい訳である。

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平行四辺形の面積は上図の場合、S=|ad-bc|で計算できる(どこかで見たような式だけど、実際に行列式とちょっと関係がある)。

さて、標準化の話、面積については、これにて一件落着。なのだが、前回危惧した通り、六角格子(正三角格子)について、縮尺を修正する必要が出てきた。面倒臭いがそのうち遡って修正して行こうと思う。

展示の標準化については、角度の標準化の話がまだ片付いていない。模様の例は豊富な方がよいと思うので、ただいま作りためております。しばらくお待ちください。
by j344 | 2013-06-09 23:03 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

レプタイル その2

さて、前回の「レプタイル その1」でご紹介したレプタイル。模様と何の関係があるのかが保留のままだった。次の図のような反復操作が行うと、平面敷き詰めと関係のあることが見えてくると思う。

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これは「ペンローズタイルの作り方」でもご紹介した、置換規則(substitution rule)による、模様の構成法である。いまは操作を繰り返すたび、ひとつひとつのタイルがどんどん小さくなって行くけれど、操作の都度拡大してやれば、どんどん平面を埋めていくことになる(基準の点をどこに選ぶかが平面充填のときにはちょっと問題になるけれど)。

ところで、ここまでご紹介してきたレプタイルは、どれも、縮小コピーのサイズが等しかった(互いに合同だった)。つまり、n-レプタイルが元のタイルをn等分していた。定義上は、自分の縮小コピー同士のサイズが違っていても構わないのではないかしら、と思うのだが(何か慣習でもあるのだろうか。不思議とそういうのをレプタイルと呼んでいるのは見たことがないのだが)、等分しないような例も色々と挙げることができる。

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(1)~(4)は正方形の正方形による分割。等分になるときもあるが、6以上なら任意の個数に分割できる。(5)のような分割は任意の直角三角形で可能である。(6)は「正方形をサイズがすべて異なる小正方形に分割せよ」というルジンの問題の、duijvestijnによる最少個数の解。(7)はコッホ雪片というフラクタル図形である。どれも輪郭線と中のタイルが同じ形になっている。

最後の(8)はアムマンのタイルという奴で、ちょっと変則的な置換規則を使うと、サイズの異なる2種類のタイルによる"非周期的な"平面敷き詰めを構成できる。置換規則は次のようなパターンだが、ご理解いただけるだろうか。

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ちなみに、アムマンのタイル張りについては、数学セミナー2012年2月号の秋山茂樹さんの記事「準結晶の数学的モデル」を参考にした。同じく秋山茂樹さんの"A NOTE ON APERIODIC AMMANN TILES"も参考になる、と思うのだけれど、ちゃんと読んでいません。あしからずご了承ください。

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6月6日、追記。英語を読まないのは悪いくせだ。wikipediaによれば、等分ではないタイプのレプタイルは、"irregular rep-tile"または"irreptile"と呼ばれているようだ。ここに色々な例があるのを見つけた。
by j344 | 2013-06-03 23:01 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)

レプタイル その1

幾何学における未解決問題集

H.T. クロフト / シュプリンガー・フェアラーク東京


によれば、n-レプタイルとは、次の条件(*)をみたす平面領域Rのことである。

(*) Rに相似なタイルをn個使ってR自身をタイル張りできる。

自分の縮小コピーn個で自分自身を分割できる、と言い換えても構わない。レプタイル(rep-tile)というのは、数学者ソロモン・ゴロムの命名で、「レプ」は本によってreplicationだとかreplicatingだとかreplicaだとか書いてあって、よく分からないけれど、日本語だと「複製」というのが適当なところだろう。「(自己)複製タイル」という訳である。爬虫類(reptile)に語呂合わせしてあるらしい。模様とどんな関係があるのかは後で考えることにして、とりあえず例を並べてみよう。

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内角が直角の倍数のものばかり集めてみた。たとえば(2)は2-レプタイル。(3)は3-レプタイルである。(5)~(7)を見るとこのL字型は、4-レプタイルであると同時に、9-レプタイル、36-レプタイルでもある。この他にもレプタイルは沢山ある。

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(25)~(28)あたりになると、多角形ではなくなって、頂点の数が無限個必要である。素焼きのタイルで作ることは不可能だけど、数学的にはとくに問題ない。

レプタイルの例の収集には、wikipediaの記事の他、模様の世界のバイブル

Tilings and Patterns

Branko Gruenbaum / W H Freeman & Co

を参考にした。ちなみに、この本の中ではレプタイルではなくて、"k-similarity tiling"と呼ばれているみたいだ。

レプタイルについて調べる中で、尊敬する折り紙作家の前川淳さんの名前がヒットした。前川淳さんの折り紙設計が、レプタイルに影響を受けていたということが、今回、改めて分かった。思わず、すでに絶版の名著のコピーを国会図書館に頼んでしまった。

ビバ!おりがみ

前川 淳 / サンリオ


by j344 | 2013-06-03 00:03 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(0)