正方形+正方形=正方形の話

この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2016 の21日目の記事です。昨日、20日目の記事はキグロさんの「√2が無理数であることの別証明」でした。
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1 はじめに

早いもので、昨年の日曜数学 Advent Calendar2015から1年が経ってしまいました*1。この1年間わたしは何をやっていたのだろう。

相変わらず、数学イベントには色々と参加しています。今年度4月から9月までの半年で36件のイベントに参加しました。年間72件ペース。昨年度の年間45件という記録を塗り替える勢いのハイペースです。日曜数学会では何を発表したのだったか。2016年に入ってからで数えるとウィア=フェラン構造の話とか、板東さんの夢のタイル張り定理の話とか、十字手裏剣の求積問題とか、1種類のタイルによる敷き詰め模様の話とか、スターンの二原子数列を聴く話とか、そんな色々を話して歩いた1年でした。楽しかったなあ。

それと、今年の3月末からパズル懇話会の幹事を務めています。パズル懇話会は数理パズルの愛好者の集まりです。会員のみなさんは色々な数理パズルの研究をして楽しく交流しています。数理パズルとは何か。説明が難しいところですが、パズル懇話会は英語名がAcademy of Recreational Mathematics, Japan。つまり「数理パズル≒レクリエーションの数学」と思うことにすると誤解が少ないのではないかと思います。

今日はそんなパズル懇話会の活動の一端を紹介してみたいと思います。テーマは裁ち合わせパズルの問題。正方形と正方形を合わせて正方形を作る問題です。

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2 パズル懇話会でのひとこま

裁ち合わせパズルとは、ある図形をいくつかの部分に分解して並べ替えることで(面積の等しい)別の図形を作るものです。詳しくはwikipediaをご覧ください。

2016年11月19日(土)パズル懇話会の例会で会長の小谷善行が次のような問題を紹介しました*2。

問題1 「正方形を合同な図形に4分割し、それをつないで、内部に正方形の穴がある大きい正方形を作る」次の4つのパターンがあると思う。これ以外見つからなかったが、あるだろうか。

解答例(数字は各正方形の辺の長さを表しています。左端の正方形が穴になります)

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どうなのだろう。あるのかな。ちょっと面白いなと思ったものの、そのまま忘れてしまいました。

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3 ハッカーズバーにて

2016年12月7日(水)六本木のハッカーズバーにパズル懇話会の面々が集まりました。このとき、先の問題が話題になりました。岩井さんはこんなアニメを作っていました。同じようなアニメを自分も昔作ったことがあったのを思い出しました。これがあの問題の解(4)になっているとは気づいていなかったのです。

会員の加藤さんがギザギザした解があるはずだと言いました。みんな半信半疑。でも、スマホで次のような図を見せてくれて、本当かもしれないと思いました。*3

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4 自分で描いてみた

帰宅後、自分でも図を描いて確かめてみました。本当だ。ちゃんと成り立っている!

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どうしてこんなことができるんだろう。不思議だなあ。他にはできるのないかしら。整数比に限るなら、どの正方形も平方数個の単位正方形を含んでいる訳だから、a^2+b^2=c^2みたいな等式が成り立つな。ピタゴラス数だと上手く行くかもしれない。(a,b,c)=(7,24,25)で試してみよう。

(試行錯誤)あ、できた。

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できるんだ。面白い。

ピタゴラス数は一般に、互いに素なm, n(ただし0 < n < m,m - n は奇数)を使って、(a, b, c) = (m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2)という風に書けるけれど、m-n=1のとき上手く行くみたいだ。なるほどなあ。

一見ややこしそうだけど、図解するとこんな感じです。

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気になる人は、ちゃんと上手く行っているか確かめてみてください。こちらは、ギザギザ解が可能な、正方形の組合せ一覧です。

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5 許可を取る。調べる。

加藤さん、小谷さん。これ、わたしのブログで紹介してよいでしょうか。いいよ。ありがとうございます。

このとき加藤さんが新しいことを教えてくれました。この問題、小谷さんの出題で初めて知ったのではなく、1993年に解いていたそうなのです。それはCubism For Funという雑誌(通称CFF)の懸賞問題でした。CFFの31号"Holey Polygons"という記事でのAnton Hanegraafさんの出題。

問題2
(a) 次の(7)と(8)は5ピースで裁ち合わせできる。どうやればいいか。
(b) 特別な比率では5ピース未満の裁ち合わせを見つけることができるか?

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という訳で、加藤さんの解は、問題1と問題2(b)の題意をたまたま両方満たしていたわけですね。なお、ここでいう5ピースは(左の正方形を穴に見立てているので)灰色の部分の分割が何個になるかを言っています。また、小谷さんの問題と違って「各ピースが互いに合同であること」という制約はありません。

正三角形の問題(7)も気になりますね。

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6 そういえば、あの問題も。

なぜこの問題がこんなに気になったのか。じつはわたしが裁ち合わせの問題に取り組むのはこれが初めてではありません。むかしMINEさんとの共同研究でBoth Sides Nowというシリーズのパズルを発案したことがあったのです。別名、額縁ダイセクション。丸善『多角形百科』にわたしの書いた記事があります。

これがそうなのですが、今回の問題によく似ています。が、8ピース使っています。

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これらが最少のピース数かどうかはよく分からないのですが、相似比によって必要なピースの枚数が色々変るみたいで面白いなあと思います。とくに何の役に立つということもありませんが、色々調べたり遊んだりできて楽しかったです。パズル懇話会では日夜このようなやり取りが行われ、ときに白熱して、新しいパズルが生まれたりしています。

パズル懇話会にご興味のある方は、お気軽にお声かけください。例会へのゲスト参加が1回500円で可能です(ゲスト参加は2回までです)。

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予告:
日曜数学 Advent Calendar 2016 明日はcorollary2525さんの「長さ1の線分を一回転できる図形について」楽しみです!

*1 このブログのひとつ前の記事がその記事です。一年ぶりの更新となりました。

*2 小谷さんの許可を得て公開しています(パズル懇話会はクローズドな会です。会員のアイデア保護のため、発表者に無断で発表内容を公開することは禁止されています)。

*3 加藤さんの許可を得て公開しています。
by j344 | 2016-12-21 23:09 | パズル | Comments(0)