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黄金比の拡張について

黄金比の一般化としては、たとえば貴金属比というのが知られている(白銀比青銅比など)。でも、ここで考えたいのは、別の方向への拡張だ。

黄金比は正5角形と関係が深い。正7角形や正9角形、一般の正n角形で黄金比に相当するものは何だろうか。この辺りのことがわかると、ペンローズタイルの拡張を考えるのに役立ちそうだ。少し難しいけれど、やってみよう(なお、ペンローズタイルをご存知ない方は、過去の記事「ペンローズタイルの作り方」を参照頂きたい)。

まず、おさらい。正5角形に対角線を引くと、2種類の二等辺三角形ができる。
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各二等辺三角形を、拡大縮小。等辺の長さをぜんぶ1に揃えてみる。
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このとき、底辺の長さに黄金数φ=1.618…が登場する。左の三角形の底辺がφ、右の三角形の底辺が1/φ=φ-1である。正5角形を並べたり、対角線を分割したりすると、いろんなところにφに関係した長さが登場する。 黄金比の性質、さまざまな関係式については、wikipediaを参照してほしい。


さて拡張。正多角形を考える。ここでは、正11角形を例として考えよう。対角線を引くと、たくさんの二等辺三角形ができる。次の5種類の二等辺三角形に注目する。
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各二等辺三角形を、拡大縮小。等辺の長さを1に揃えてみる。
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これらの三角形の底辺の長さを、左からそれぞれb1~b5とする。

このとき、次のような関係式が成り立つ。

(1) b1b2b3b4b5=1
(2) b1-b2+b3-b4+b5=1
(3) b1b2=b3+b1
(4) b2b3=b5+b1

(1)(2)は美しいが、(3)(4)はよく分からない。でも、掛け算が変な足し算になったりしていて面白い。端数が出てこずにb1~b5だけで書けるのも不思議だ。乗積表(もどき)を作っておくと法則性が見えるかもしれない。
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どう証明するか。1の22乗根を使うと上手く計算ができる。

なぜ突然1の22乗根が出てくるのか。正n角形と1のn乗根には深い関係があって、zn=1の根は複素平面上で単位円をn等分する。次の図を見ると、b1~b5が1の22乗根で表せそうな気がしてくる。
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という訳で、z=e(π/11)i=cos(π/11)+i sin(π/11)とおくと、b1~b5は次のように書ける。
b1=z-z10
b2=z2-z9
b3=z3-z8
b4=z4-z7
b5=z5-z6

これで準備が整った。複素数の計算に慣れていないと分かりにくいかもしれないけれど、あとは、
z11=-1と
z10-z9+z8-z7+z6-z5+z4-z3+z2-z+1=0
に注意して計算すればよい。ひとつやってみると、こんな感じだ。

b1b2=(z-z10)(z2-z9)
   =z3-z10-z12+z19
   =z3-z10+z-z8
   =(z3-z8)+(z-z10)
   =b3+b1

ところで黄金比はどこへ行ったのか。じつは先ほどの(1)と(2)が黄金比の持っていた性質の自然な拡張になっている。正5角形にもどってみると、ふたつの底辺の掛け算φ(1/φ)=1に相当する性質が(1)で、ふたつの底辺の引き算φ-(1/φ)=φ-(φ-1)=1に相当する性質が(2)だ、というふうに見ることができる。また、φ11=b1とおくことにして先ほどの関係式を駆使すると、b2~b5をφ11で表すことができる。面倒なので書かないが、興味のある方は計算してみてほしい。この辺りも黄金数φに似た性質ということができるだろう。

最後に、ペンローズタイルの拡張との関係。最初の5種類の二等辺三角形。底辺のところに鏡を置くと、ひし形が5種類できる。
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これをたとえばこんな風に並べることができる。
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上手く並べると、きっとペンローズタイルの正11角形版ができる。しかし、まだその並べ方を見つけていない。並べ方の分析には、きっと辺の長さや面積の計算が必要だ。その計算には今回検討した、黄金比の拡張を使うことができる。

今回は触れなかったが、各二等辺三角形の面積についても綺麗な表示ができて、なかなか美しい関係式がある。これはまたの機会にまとめようと思う。

正7角形や正9角形でも、正11角形で議論したことの類似が成り立つ。nが合成数か素数かなどによっても、いろいろ様子が違ってくるみたいだが、拡張の基本はこんな感じで行けるのではないかと思う。

Commented by j344 at 2014-07-10 07:30
Yoshiaki Arakiさんにご紹介いただいた、この論文は(ペンローズタイル拡張の)参考になりそう。というか、こういうことをやりたいのなら、読んでないと恥ずかしいレベルか。熟読せねば。
http://www.mathematicians.org.uk/eoh/files/Harriss_RTWONRS.pdf
Commented by j344 at 2016-05-04 23:22
その後知った論文をメモ
http://arxiv.org/pdf/1409.1828v1.pdf
https://arxiv.org/pdf/1512.01402.pdf
http://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-279.pdf
Commented by もりすけ at 2016-06-16 10:03 x
はじめまして。
幾何学図形を見るのが好きでネットで眺めているうちにこの図形から貴ブログにたどり着きました。
ブログにある記事は私には難しい部分も多いのですが大変面白く、ボリュームもあるのでじっくり読ませていただきます。

定年退職後は自由に使える時間をMacで幾何学図形を描いたりシンプルなアートの模写を楽しんでいます。
線分を使った30秒ほどの動画も創っています。
よろしければ興味本位でご覧ください。

https://youtu.be/v33ib0xxdkM
Commented by j344 at 2016-07-04 23:17
>もりすけさん
お返事大変遅くなり恐縮です。コメントありがとうございました。動画、いくつか拝見しました。独特の世界観、すごいですね。これはどうやって描いているのでしょう?
by j344 | 2014-07-10 00:32 | 数学 | Comments(4)