ペンローズタイルの作り方

たびたびこのブログで話題にしているペンローズタイルだが、今後のために作り方をまとめておくことにする。

ペンローズタイルは、物理学者ロジャー・ペンローズが考案した、非周期な平面充填形。次の図のようなタイリングパターンである。

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2種類のひし形タイルが配置されている(ふちのところだけ、ひし形以外のタイルが現れているが、いまは無視しよう)。くり返しの単位、ユニットは存在しない。けれど、無秩序ではなく、あるルールに基づいて配置されている。どうやって作るのか。

まず、正五角形を用意しよう。対角線を引いて分割すると、2種類の二等辺三角形ができる。

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このふたつの三角形を、どんどん増殖させる。基本となるのは、次の操作である。

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step1の三角形A1とB1を並べていくと、step2のA2とB2を作ることができる。A2は、B1に、108°回転したA1をくっつけて作る。B2は、216°回転したB1に、左右反転したA2をくっつけて作る。この、裏返しの操作が入るところが、少しややこしい。

大切なのはstep2の輪郭である。A2は少し大きくなっているがA1と同じ形である。B2もB1と同じ形。ということは、A2とB2にさっきと同じ操作を加えることができる。

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A3は、B2に、108°回転したA2をくっつけて作る。B3は、216°回転したB2に、左右反転したA3をくっつけて作る。以下同様に、step5まで描くと次のようになる。

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無限に続けるわけにいかないので、次のA6でストップしよう。A6と上下反転させたA6をくっつけてみる。

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ここまで裏表を区別してきたが、裏表を同じ色にする。さらに、左端の点を中心に5回対称のコピーをつくってみる。具体的には72°回転したもの、144°回転したもの、216°回転したもの、288°回転したものとオリジナルの回転してないもの(0°回転)の5つをくっつける。

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ちょうどうまい具合に、三角形の辺がくっついて、ひし形ができている。境界線の一部を取り除くと、最初の図ができる。
Commented by j344 at 2013-07-06 23:25
この作図法Robinson Triangleとして、下記のページで紹介されていました。
http://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution_rules/robinson_triangle
by j344 | 2013-02-24 01:08 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(1)