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模様展示の標準化 その3

タイルを2種類以上使った模様の場合、どんな基準で縮尺を標準化すべきか。アルキメデスの平面充填を例に考えてみる。今回は、結論から図示しよう。

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どのようにして、この縮尺を選んだのか。注目しなければならないのは、くり返しの単位(ユニット)の面積である。まず、それぞれの模様の中から、そのくり返しの単位を見つけてみよう。

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ユニットの選び方は、必ずしも上の図の形に限らないのだが、たとえば、薄い赤色の図形をコピーして張り合わせて行けば、平面を隙間なく敷き詰められることが分かるだろう。このユニットの面積を揃えれば、縮尺が決まることになる。

いきなり面積を揃えるのは大変なので、先に辺の長さを1としたときの各ユニットの面積を求めてみよう。

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これから、面積を揃えた時の辺の長さを逆算する。面積は縮尺の2乗に比例するから、よく考えると、次のようになる。

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すなわち、この辺の長さが、求めようとしたところの縮尺であった。

じつは、これは「模様展示の標準化 その2」の(3)で、タイルの面積を揃えたことの自然な拡張になっている。正方格子、正三角形の格子、正六角形の格子のときには、タイル自身がユニットになっていた訳である。

なお、今回、ユニットの選び方として、ひとつの制限を設けていた。「平行移動だけで平面充填できるようなユニット」というのがそれである。この条件を緩めて、回転移動を構わないことにすると、#02のユニットは#01のユニットと同じ形にすることができる。そうすると縮尺の基準も変わってしまうのだが、どちらの基準がよいだろうか。

さて、今回はくり返し模様のとき、縮尺の基準をどう選ぶかの話だった。次回は、ペンローズタイルのように、模様がくり返さないときにどんな基準が考えられるか。それを検討してみたい。
Commented by j344 at 2013-02-18 07:29
平面のくり返しパターンは、その対称性から17種類に分類される。アルキメデスの平面充填(アルキメデスタイリング)については、#05~#07が同じ対称性を持っている。

今回は縮尺の基準探しが主眼だったためこだわらなかったが、同じ対称性のパターンについては、ユニット配置の方向(平行移動の方向)を揃えておくべきかもしれない。たとえば、#05,#06については、左に90度回転させる訳である。

そうすると、#04と#01も気になってくる。#04は六角形の中心を結んだ線が、わずかに傾いでいるのを真っ直ぐにしたい。ユニットを整列させた#04~#08で、縦のラインを作るのなら、#01についても左に90度回転して、正方形を縦に揃えるべきだという意見があってもよいと思う。そして、#03も45度左回転した方が、正方格子との整合性が取れるかもしれない。

この辺りの話については、対称性を網羅した上で、再度検討しよう。
by j344 | 2013-02-17 23:00 | 幾何学模様大図鑑 | Comments(1)